El modelo de crecimiento de Solow

  Joaquín Ledesma

Este texto, y los gráficos interactivos asociados, forman parte del capítulo 13 del manual "Economía, teoría y política" (Pearson-Prentice Hall, Buenos Aires, 2004) y se publican aquí con la autorización de su autor.

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Ver, en este mismo sitio web:
El modelo de Solow y el proceso de acumulación del conocimiento
de Marleny Cardona Acevedo y otros
 

Uno de los modelos más conocidos de la escuela neoclásica acerca de la relación entre ahorro, acumulación de capital y crecimiento es el que Robert M. Solow desarrolló a fines de los años cincuenta y sesenta. Este modelo señaló cómo el ahorro, el crecimiento demográfico y el avance tecnológico influían sobre el aumento del producto a lo largo del tiempo.

En 1987, Solow obtuvo el premio Nobel de Economía por su trabajo sobre el crecimiento económico. El modelo fue presentado en: Solow, R. M., "A Contribution to the Theory of Economic Growth". En: Quarterly Journal of Economics, febrero de 1956.

Partía de tres supuestos:

1- La población y la fuerza de trabajo (que se suponen iguales) crecen a una tasa proporcional constante (n) determinada por factores biológicos, pero independiente de otras variables y aspectos económicos.

2- El ahorro y la inversión son una proporción fija del producto neto en un momento dado.

3- La tecnología se supone afectada por dos coeficientes constantes: la fuerza de trabajo por unidad de producto y el capital por producto.

Para comenzar con el análisis, examinemos cómo la oferta y la demanda de bienes determinan la acumulación de capital. La oferta de bienes determina el nivel del producto en un momento dado, y la demanda determina cómo dicho producto se distribuye entre usos alternativos. En el modelo de Solow, la oferta de bienes se basa en la conocida función de producción:

y = F (K, L)

Donde

K = stock de capital
L = trabajo

El modelo de crecimiento de Solow supone que la función de producción tiene rendimientos constantes a escala: al aumentar los insumos trabajo y capital en una determinada proporción, el producto se incrementa en la misma proporción.

La función de producción muestra la productividad marginal decreciente del capital: cada incremento del capital en una unidad causa en la producción un aumento menor que el derivado de la unidad de capital anterior. Esto significa que cuando se dispone sólo de un pequeño capital, una unidad adicional de capital es muy útil y añade una gran cantidad de producción; cuando el capital es muy grande, en cambio, una unidad adicional es menos útil y acrecienta sólo un poco la producción.

Veamos el gráfico de esta función en términos per cápita:

Gráfico 1 Función de producción per cápita
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La función de producción muestra cómo k (el nivel de capital por trabajador) determina y (el nivel de producción por trabajador):

y = f (k)

La pendiente de la función de producción es la productividad marginal del capital (PMK): si k aumenta en una unidad, y aumenta en PMK unidades. La curva de la función de producción se hace más plana a medida que k aumenta, lo cual indica una productividad marginal decreciente. Dado que la inversión, como se estableció en los supuestos, es igual al ahorro, la tasa de ahorro es también la porción del producto dedicada a la inversión:

Seguimos el planteo original de Solow, que funciona en una economía cerrada al resto del mundo.

S = I

Para un stock de capital K, suponemos que su depreciación es una proporción fija de K, que llamaremos dK. El cambio en el stock de capital es igual a la inversión, neta de depreciación (es decir, la inversión menos esa depreciación):

ΔK = I - dK

Como I = S, y además suponemos que el ahorro es una proporción del producto nacional, S = sY, reemplazamos en la ecuación anterior:

ΔK = sY - dK

Para obtener el cambio en el stock de capital en términos per cápita dividimos la expresión anterior por el tamaño de la fuerza laboral (L):

ΔK / L = sy - dk      (1)

Como la población y la fuerza laboral crecen a una tasa proporcional constante igual a n (por ahora consideraremos nulo el cambio tecnológico), entonces ΔL / L = n.

A su vez, si k = K / L, la tasa de crecimiento de k está dada por la siguiente ecuación:

Δk / k = ΔK / K - ΔL / L = ΔK / K-n

Haciendo un pasaje de términos, ΔK = (Δk / k) K + nK. Si dividimos ambos miembros de la ecuación por L:

ΔK / L = Δk + nk     (2)

Igualando (1) y (2) llegamos a la ecuación fundamental de acumulación de capital:

Δk = sy - (n + d) k

El crecimiento del capital por trabajador Δk (también llamado coeficiente capital/trabajo) es igual a la tasa de ahorro per cápita (sy) menos el término (n + d) k.

Explicará el alcance de esta ecuación. Como indica el último término, dado que la fuerza laboral crece a una tasa n, un cierto monto del ahorro per cápita debe usarse para equipar a los nuevos participantes de la fuerza laboral con un capital k por trabajador. Para ello se debe aplicar un monto nk de ahorro. Al mismo tiempo, un cierto monto del ahorro per cápita se debe utilizar para reponer el capital depreciado, que es igual a una cantidad dk del ahorro. Por lo tanto, un total (n + d) k del ahorro per cápita se debe usar sólo para mantener constante el coeficiente capital/ trabajo al nivel k. Si el ahorro per cápita es mayor que el monto de (n + d) k, se produce un incremento en el coeficiente capital/ trabajo (Δk > 0).

"Profundización" significa, en este caso, incremento de capital por trabajador (Δk).

El ahorro destinado a equipar a los nuevos participantes de la fuerza laboral y reponer el capital depreciado se denomina ampliación del capital. Por otro lado, el ahorro que se utiliza para hacer subir el coeficiente capital/producto se llama profundización del capital. Por lo tanto, la ecuación fundamental del modelo de Solow establece que:

Profundización de capital = ahorro per cápita menos ampliación del capital

Supongamos que la economía se mantiene en su estado estacionario, es decir, en un equilibrio a largo plazo. En tal caso, el capital por trabajador alcanza un valor de equilibrio y permanece invariable. En consecuencia, el producto por trabajador también alcanza un estado estacionario (recuerde que se omite el cambio tecnológico). Por lo tanto, en estado estacionario tanto k como y alcanzan un nivel permanente.

Ver: Phelps, Edmund S., "The Golden Rule of Accumulation: A Fable for Growthmen': En: American Ecanomic Review, septiembre de 1961.

Para alcanzar el estado estacionario, el ahorro per cápita (sy) debe ser exactamente igual a la ampliación del capital ((n + d) k), de modo que Δk = O.

La regla de oro de la acumulación es:

sy = (n + d) k

Aun cuando el estado estacionario significa un valor constante para k e y, no implica un crecimiento nulo. De hecho, en estado estacionario hay un crecimiento positivo del producto a la tasa n. Veamos un gráfico que refleja esta situación:


Gráfico 2 Función de producción, de ahorro y de ampliación de capital
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El gráfico representa la función de producción per cápita (y). Recordemos qué trabajamos con la hipótesis de rendimientos constantes a escala: si se aumentan los factores, aumenta el producto en la misma proporción.

Nota que, en este punto, todas las variables agregadas de la economía (trabajo, capital y producto) crecen a una tasa igual a n.

La otra curva es la función de ahorro per cápita (sy), que por ser una proporción de la función de producción tiene su misma forma, aunque se encuentra debajo de ella porque el coeficiente s es menor que 1 (0 < s < 1). La recta es la función de ampliación de capital ((n + d) k), cuya pendiente es (n + d).

Como se dijo anteriormente, en estado estacionario se cumple que sy = (n + d) k. En este punto, marcado en el gráfico como A, el capital por trabajador es kA, el producto per cápita es YA, y el ahorro es suficiente para cumplir con la ampliación de capital, lo que significa que el ahorro por persona (syA) alcanza para proporcionar capital a la población en aumento y para reponer el capital depreciado sin causar cambios en el coeficiente de capital por trabajador.

Gráfico 3 Modelo de Solow: estado estacionario
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A la izquierda del punto A, el ahorro es mayor que el necesario para la ampliación del capital: sy > (n + d) k. Con el aumento en el stock de capital por trabajador se profundiza el capital: k se desplaza hacia la derecha, como lo muestran las flechas. A la derecha de este punto sucede exactamente lo contrario.

Cada vez que la economía se aleja del estado estacionario, ya sea por exceso o por deficiencia de capital por trabajador, hay fuerzas que la empujan hacia el equilibrio de largo plazo del estado estacionario.

Analicemos qué pasa si, a partir de una situación de estado estacionario, modificamos las fuentes de crecimiento, a saber: la población, el capital y la tecnología.

1- Variación en la tasa de crecimiento de la población: si en una economía como la que analiza este modelo crece el número de habitantes (y la fuerza laboral, según los supuestos), una mayor parte del ahorro deberá utilizarse para poder mantener a los nuevos trabajadores con las mismas dotaciones de capital que ya tengan los anteriores. Esta ampliación de capital es igual a nk, lo cual rompe la regia de oro. La curva de ampliación de capital tendrá una pendiente mayor ((n 1 + d) k en el gráfico), que conducirá a un nivel de equilibrio de estado estacionario con un menor ingreso per cápita. Si se produce una disminución en la tasa de población, por el contrario, aumenta el ingreso per cápita. Por esta razón, según este modelo, los países pobres con alto nivel de natalidad poseen un bajo PBN per cápita, lo que equivale a decir que carecen del capital suficiente para toda su fuerza laboral.

Gráfico 4 Variación en la tasa de crecimiento poblacional (n 1)
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2- Variación en el nivel del capital: Cuando hay un incremento en la tasa de ahorro se verifica una alta tasa de crecimiento, pero sólo hasta llegar al estado estacionario. La variación de la tasa de ahorro puede incidir en 1) la tasa de crecimiento en el corto plazo, y 2) el nivel de ingreso per cápita en el estado estacionario de largo plazo. Cuando se produce una variación positiva del ahorro, la curva sy se traslada a s'y como lo indica el siguiente gráfico, lo cual resulta en un incremento transitorio en la tasa de crecimiento, por un lado, y en un incremento permanente en el nivel de ingreso per cápita yen el coeficiente capital! trabajo, por el otro.

Gráfico 5 Variación en la tasa de ahorro
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3- Variación de la tecnología: el cambio tecnológico incrementa la calidad del trabajo y el rendimiento de los trabajadores mediante la especialización, la educación y otros factores. El progreso tecnológico permite un crecimiento sostenido de la producción por trabajador porque desplaza la función de producción. la cual a su vez modifica la función de ahorro. Una vez que la economía se encuentra en estado estacionario, la tasa de crecimiento de la producción por trabajador depende sólo de la tasa de progreso tecnológico. Así, el modelo de Solow demuestra que el progreso tecnológico es la única explicación del constante aumento del nivel de vida.

En el modelo de Solow, la tasa de cambio tecnológico determina la tasa de crecimiento de estado estacionario del ingreso per cápita, esto es, el crecimiento del producto por persona.

La conclusión del modelo es: sólo un bajo crecimiento de la población y un cambio tecnológico acelerado pueden generar un aumento permanente en la tasa de crecimiento. Incrementar el ahorro y la inversión, por otra parte, puede producir un incremento transitorio en el crecimiento y uno permanente en el ingreso per cápita. A este modelo, sin embargo, se le puede criticar que intenta mostrar como ejemplo los países industrializados y que olvida incluir el rol de las expectativas.

Mi propósito -escribía Solow en la obra antes citada- era examinar lo que se podría considerar el enfoque más rígido del crecimiento económico y ver si supuestos más flexibles con respecto a la producción permitirían construir un modelo más simple. Desempleo y exceso de capacidad o sus contrarios pueden ser todavía atribuidos a cualquiera de las antiguas causas de déficit o exceso de la demanda agregada, pero menos fácilmente a una desviación de las estrictas condiciones de equilibrio.

En este juicio se percibe una idea subyacente: la economía tiende al crecimiento equilibrado y no a las tensiones y distorsiones expuestas por Harrod.

Finalmente, es importante notar las diferencias entre Solow y Keynes con respecto al crecimiento de la población: mientras que para Keynes el efecto era positivo, porque actuaba sobre la demanda, para Solow era negativo. porque alteraba la relación capital/trabajo.


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Esta página ha sido actualizada por última vez el 20 de mayo de 2007

Para citar este artículo en cualquier documento puede utilizar el siguiente formato:
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Martínez Coll, Juan Carlos (2001): "El crecimiento económico" en La Economía de Mercado, virtudes e inconvenientes; http://www.eumed.net/cursecon/18/index.htm consultado el (poner fecha de consulta).


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