Regresión no lineal

La regresión lineal no siempre da buenos resultados, porque a veces la relación entre Y y X no es lineal sino que exhibe algún grado de curvatura. La estimación directa de los parámetros de funciones no-lineales es un proceso bastante complicado. No obstante, a veces se pueden aplicar las técnicas de regresión lineal por medio de transformaciones de las variables originales.
Una función no-lineal que tiene muchas aplicaciones es la función exponencial:

Y = AXb 

donde A y b son constantes desconocidas. Si aplicamos logaritmos, esta función también puede ser expresada como:

log(Y) = log(A) + b.log(X)

Consideremos ahora la siguiente regresión lineal:

log(Y) = b0 + b1log(X)

En esta regresión (denominada regresión doble-log), en lugar de calcular la regresión de Y contra X, calculamos la regresión del logaritmo de Y contra el logaritmo de X. Comparando estas dos ecuaciones, podemos apreciar que el coeficiente es un estimador de log(A), mientras que es un estimador de b (el exponente de la función exponencial). Este  modelo es particularmente interesante en aplicaciones econométricas, porque el exponente b en una función exponencial mide la elasticidad de Y respecto de X.

Cuadro 3
Demanda de Automóviles Nuevos
y Variables Relacionadas,
1932-56.

  X1 X2 X3 Y

1932

126.5

83.4

18.7

1.10

1933

128.5

82.6

17.9

1.53

1934

128.5

90.9

18.9

1.93

1935

120.5

99.3

19.4

2.87

1936

117.0

111.6

20.1

3.51

1937

121.0

115.6

21.5

3.51

1938

133.8

109.0

22.3

1.96

1939

131.0

118.5

22.7

2.72

1940

134.3

127.0

23.2

3.46

1941

144.9

147.9

24.5

3.76

.. .. .. .. ..

1949

186.6

184.9

30.6

4.87

1950

186.6

200.5

33.1

6.37

1951

181.5

203.7

35.7

5.09

1952

195.7

209.2

37.6

4.19

1953

188.2

218.7

39.3

5.78

1954

190.2

221.6

41.6

5.47

1955

196.6

236.3

43.0

7.20

1956

193.4

247.2

47.0

5.90

Fuente: "The Demand for New
Automobiles in the United States,"
Review of Economics and Statistics
,
40 (August 1958): 279.

Como ejemplo, en el Cuadro 3 se muestran los datos básicos de un estudio de la demanda de carros nuevos en los Estados Unidos, publicado en 1958 por el Profesor D. B. Suits (nótese que Suits excluyó de su análisis los datos correspondientes al período 1942-48, por considerarlos poco representativos). Las variables consideradas para el análisis fueron las siguientes:

X1 = Índice del Precio Real de Automóviles Nuevos
X2 = Ingreso Disponible Real (en miles de millones de dólares)
X3 = Automóviles en Circulación al principio de cada año (millones de unidades)
Y = Ventas de Automóviles Nuevos (millones de unidades).

Con estos datos, podemos estimar la siguiente regresión doble-log:

log(Y) = b0 + b1log(X1) + b2log(X2) + b3log(X3)

Puesto que todas las variables se expresan en términos de logaritmos, los coeficientes de regresión son estimaciones de las elasticidades de Y respecto de las variables independientes. La regresión estimada fue la siguiente:

log(Y) = - 1.5803 - 1.422 log(X1) + 3.216 log(X2) - 1.479 log(X3)

R2 = 0.942

En base a estos resultados, podemos concluir que la elasticidad-precio de la demanda de automóviles nuevos en este período era de aproximadamente —1.4, con una elasticidad-ingreso de aproximadamente 3.2. (¿Cuál sería la interpretación del coeficiente de la variable X3?)

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