Estimación de la recta de regresión y del coeficiente de determinación

En la práctica, los cálculos relacionados con un análisis de regresión se efectúan por medio de programas de computadora, por lo que los cálculos detallados en esta sección se incluyen únicamente a título de ilustración.

Para estimar los coeficientes por medio de mínimos cuadrados, se utilizan las siguientes fórmulas:

Cuadro 1. 
Operaciones Mensuales en
una Empresa de Transporte de Pasajeros.

                     Costos      Millas
                    Totales    Vehículo 
                     (miles)      (miles)
    Mes Nº          Y              X    


        1            213.9        3147
        2            212.6        3160
        3            215.3        3197
        4            215.3        3173
        5            215.4        3292
        6            228.2        3561
        7            245.6        4013
        8            259.9        4244
        9            250.9        4159
      10            234.5        3776
      11            205.9        3232
      12            202.7        3141
      13            198.5        2928
      14            195.6        3063
      15            200.4        3096
      16            200.1        3096
      17            201.5        3158
      18            213.2        3338
      19            219.5        3492
      20            243.7        4019
      21            262.3        4394
      22            252.3        4251
      23            224.4        3844
      24            215.3        3276
      25            202.5        3184
      26            200.7        3037
      27            201.8        3142
      28            202.1        3159
      29            200.4        3139
      30            209.3        3203
      31            213.9        3307
      32            227.0        3585
      33            246.4        4073


Fuente: J. Johnston,
Análisis Estadístico de los Costes

(Barcelona: Sagitario, S. A., 1966), p. 118.

En nuestro ejemplo, aplicando estas fórmulas tenemos:

           25,216,020.3 — 219.1242(113,879)
b1 =  ——————————   =   0.044674
            398,855,769 — 3,450.879(113,879)


b0 = 219.1242 — 0.044674(3,450.879) = 64.96

Expresando los resultados en términos de la recta de regresión, tenemos:

 =  64.96 + 0.044674 X

Podemos concluir que por cada milla adicional recorrida, los costos de operación aumentan en aproximadamente 4.5 centavos —esto podría interpretarse como el "costo marginal" para la empresa de recorrer una milla adicional— mientras que el coeficiente b0 nos estaría indicando la parte del costo mensual que no varía directamente con la cantidad de millas recorridas (aproximadamente 64,960 libras mensuales).

Diagrama de dispersión

Coeficiente de Determinación (R2).

Una pregunta importante que se plantea en el análisis de regresión es la siguiente: ¿Qué porcentaje de la variación total en Y se debe a la variación en X? En otras palabras, ¿cuál es la proporción de la variación total en Y que puede ser "explicada" por la variación en X? El estadístico que mide esta proporción o porcentaje se denomina coeficiente de determinación:

 

En este caso, al hacer los cálculos respectivos, se obtiene un valor de 0.946. Esto significa que la variación en las millas recorridas explica 94.6 % de la variación en el gasto de operación mensual.

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