Introducción a la regresión lineal

Análisis de regresión
Coeficientes
Diagrama de dispersión
Mínimos cuadrados
Parámetros
Recta de regresión
Relación estadística
Relación funcional
Relación lineal
Variables

El objeto de un análisis de regresión es investigar la relación estadística que existe entre una variable dependiente (Y) y una o más variables independientes (, ... ). Para poder realizar esta investigación, se debe postular una relación funcional entre las variables. Debido a su simplicidad analítica, la forma funcional que más se utiliza en la práctica es la relación lineal.  Cuando solo existe una variable independiente, esto se reduce a una línea recta:

donde los coeficientes b0 y b1 son parámetros que definen la posición e inclinación de la recta.  (Nótese que hemos usado el símbolo especial  para representar el valor de Y calculado por la recta.  Como veremos, el valor real de Y rara vez coincide exactamente con el valor calculado, por lo que es importante hacer esta distinción.)

El parámetro b0, conocido como la "ordenada en el origen," nos indica cuánto es Y cuando X = 0.  El parámetro b1, conocido como la "pendiente," nos indica cuánto aumenta Y por cada aumento de una unidad en X.  Nuestro problema consiste en obtener estimaciones de estos coeficientes a partir de una muestra de observaciones sobre las variables Y y X. En el análisis de regresión, estas estimaciones se obtienen por medio del método de mínimos cuadrados.

Cuadro 1. 
Operaciones Mensuales en
una Empresa de Transporte de Pasajeros.

                     Costos      Millas
                    Totales    Vehículo 
                     (miles)      (miles)
    Mes Nº          Y              X    


        1            213.9        3147
        2            212.6        3160
        3            215.3        3197
        4            215.3        3173
        5            215.4        3292
        6            228.2        3561
        7            245.6        4013
        8            259.9        4244
        9            250.9        4159
      10            234.5        3776
      11            205.9        3232
      12            202.7        3141
      13            198.5        2928
      14            195.6        3063
      15            200.4        3096
      16            200.1        3096
      17            201.5        3158
      18            213.2        3338
      19            219.5        3492
      20            243.7        4019
      21            262.3        4394
      22            252.3        4251
      23            224.4        3844
      24            215.3        3276
      25            202.5        3184
      26            200.7        3037
      27            201.8        3142
      28            202.1        3159
      29            200.4        3139
      30            209.3        3203
      31            213.9        3307
      32            227.0        3585
      33            246.4        4073

Fuente: J. Johnston,
Análisis Estadístico de los Costes

(Barcelona: Sagitario, S. A., 1966), p. 118.

Como ejemplo, consideremos las cifras del Cuadro 1, que muestra datos mensuales de producción y costos de operación para una empresa británica de transporte de pasajeros por carretera durante los años 1949-52 (la producción se mide en términos de miles de millas-vehículo recorridas por mes, y los costos se miden en términos de miles de libras por mes). Para poder visualizar el grado de relación que existe entre las variables, como primer paso en el análisis es conveniente elaborar un diagrama de dispersión, que es una representación en un sistema de coordenadas cartesianas de los datos numéricos observados. En el diagrama resultante, en el eje X se miden las millas-vehículo recorridas, y en el eje Y se mide el costo de operación mensual. Cada punto en el diagrama muestra la pareja de datos (millas-vehículo y costos de operación) que corresponde a un mes determinado. Como era de esperarse, existe una relación positiva entre estas variables: una mayor cantidad de millas-vehículo recorridas corresponde un mayor nivel de costos de operación.

Por otro lado, también se aprecia por qué este gráfico se denomina un diagrama de "dispersión": no existe una relación matemáticamente exacta entre las variables, ya que no toda la variación en el costo de operación puede ser explicada por la variación en las millas-vehículo. Si entre estas variables existiera una relación lineal perfecta, entonces todos los puntos caerían a lo largo de la recta de regresión, que también ha sido trazada y que muestra la relación "promedio" que existe entre las dos variables. En la práctica, se observa que la mayoría de los puntos no caen directamente sobre la recta, sino que están "dispersos" en torno a ella. Esta dispersión representa la variación en Y que no puede atribuirse a la variación en X.

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