NÚMEROS COMPLEXOS: HISTÓRIA, TEORIA E PR�TICA

CAPÍTULO III
OS COMPLEXOS E A NATUREZA
3. APLICAÇÕES DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Como já discorrido no primeiro capitulo, os números complexos sugiram no século XVI ao longo das inovações dos procedimentos gerais para resolução de equações algébricas de 3º e 4º grau. Já século XVII os números complexos foram utilizados de forma tímida para viabilizar os cálculos. E no século XVIII são mais utilizados a medida que se verifica o quanto os números complexos permitem a junção de vários resultados dispersos da Matemática no conjunto dos números reais. No entanto, nada foi feito para explicar o significado desses novos números. No século XIX temos a representação geométrica dos números complexos, impulsionada pelas limitações da geometria, topografia e Física, em se trabalhar com o conceito de vetor no plano. Daí por diante, os números complexos passam a ser inseridos em vários ramos do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática (DANTAS, 1991).

3.1 OS NÚMEROS COMPLEXOS E A GEOMETRIA

Uma aplicação relevante da multiplicação de números complexos na forma trigonométrica é a alternativa de se rotacionar coordenadas no plano. Este mesmo comportamento, antes exercido por uma matriz de rotação, pode ser agora também exercido pelos números complexos, pois na multiplicação de dois complexos na forma trigonométrica, multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos. Portanto, se um ponto (a,b) qualquer deve ser rotacionado em relação a origem, em graus α no sentido anti-horário, basta multiplicar o numero complexo a + bi pelo complexo .
Aplicação:
Encontre as novas coordenadas do ponto A(3,4) após uma rotação de 90ºno sentido anti-horário em relação a origem.
Resolução:
O ponto A(3,4) representa geometricamente o complexo Z = 3 + 4i. para haver uma rotação de 90º no sentido anti-horário, precisamos multiplicar Z por . Como , então basta multiplicar por i. Veja:

Então, as novas coordenadas do ponto A são -4 e 3, ou seja A’(-4,3).

3.2 OS NÚMEROS COMPLEXOS E A ENGENHARIA ELÉTRICA

Deve-se ao cientista alemão Hermann Von Helmholtz (1821-1824) o pioneirismo na aplicação de números complexos à teoria de circuitos elétricos. A aplicação de números complexos na análise de circuitos elétricos de corrente alternada foi disseminada nos Estados Unidos por Arthur Edwin (1861-1939) e Charles Steinmetz (1865-1923) com auxílio de Julius Berg (1871-1941) no final do século XIX. Em 1823, Edwin admitiu o termo Impedância assim como os números complexos para os componentes dos circuitos elétricos de corrente alternada, o que foi seguido por Steinmetz. Desde então, os números complexos passaram a ser fundamentais no desenvolvimento da Engenharia Elétrica, enquanto ramo cientifico (IGM, 2010).
Segundo Dante (2011) em circuitos elétricos de corrente alternada, como por exemplo as instalações elétricas residências, as grandezas elétricas são analisadas com o recurso dos números complexos, o que facilita muito os cálculos. A relação U = Ri, estudada na Física do ensino médio e que se utiliza dos números reais, torna-se U = Zi, em que U é a tensão (diferença de potencial ou voltagem), Z é a impedância (resistência) e i é a corrente elétrica (variação de cargas elétricas ao longo do tempo), sendo essas grandezas representadas através de números complexos. Para que não houvesse confusão entre i, símbolo da corrente elétrica, e i, unidade imaginária, os engenheiros acordaram usar a letra j como representação da unidade imaginária na expressão algébrica do complexo a + bj. Além disso, adotaram a notação  para a forma trigonométrica  do numero complexo w.
Aplicação:
Uma fonte de tensão de uma residência, de valor eficaz , alimenta uma carga de impedância Z = (10 + 10j) ohm. Qual a corrente elétrica fornecida pela fonte?
Resolução:
Para obter a corrente elétrica i, façamos a seguinte relação:

Para proceder este quociente, é preferível ter U e Z na forma trigonométrica.
Observe que já possuímos , e agora precisamos obter a forma trigonométrica de Z. Veja:

Então:

Desta forma, a corrente elétrica fornecida pela fonte é dada por:

Como na engenharia elétrica a parte imaginária é expressa pela letra j, então a corrente pretendida é expressa por: