DIN�MICA DISCRETA

CAPÍTULO 2

OPERADORES DISCRETOS

a) Operador Desplazamiento:

Definición

         
Significado
          El operador desplazamiento E, lo que hace es desplazar en un periodo el valor de la función. Esto es, es el valor de la función en el momento siguiente: en el momento t+1.

Propiedades

(i)                Desplazamiento de una constante por una función:

         
                   El desplazamiento de una constante por una función es la constante por el desplazamiento.

(ii)               Desplazamiento de la suma:
              

         

                   El desplazamiento de la suma de dos funciones es la suma de los desplazamientos de cada una de las dos funciones.

(iii)               (i) y (ii) ====> E es un operador lineal:

         

(iv)              Desplazamiento aplicado n veces (desplazamiento de orden n):

         

(v)               Desplazamiento de la multiplicación de funciones:

         
                   El desplazamiento de la multiplicación de dos funciones es la multiplicación de los desplazamientos de cada una de las dos funciones.

Tabla 2.a.1
Resumen de las propiedades del Operador Desplazamiento

	Propiedades	Formulas
(i)	Desplazamiento de una constante por una función	E(ayt) = aEyt
(ii)	Desplazamiento de la suma	E(xt + yt) = Ext + Eyt
(iii)	E es un operador lineal	E(axt + byt) = aExt + bEyt
(iv)	Desplazamiento aplicado n veces (desplazamiento de orden n)	En(yt) = yt+n
(v)	Desplazamiento de la multi­plica­ción de funciones	E(xt.yt) = Ext.Eyt

b)   Operador Diferencia

Definición

         
Significado
          El Operador diferencia ∆, viene a ser la diferencia de valores de la función entre dos momentos sucesivos: entre el momento t+1 y el momento t.

Propiedades

(i)                Diferencia de una constante por una función:

         
          La diferencia de una constante por una función es la constante por la diferencia de la función

(ii)               Diferencia de la suma de funciones:

         
          La diferencia de la suma de dos funciones es la suma de las diferencias de las dos funciones.

(iii)               (i) y (ii) ====> ∆ es un operador lineal:

         

(iv)              La diferencia aplicada dos veces (diferencia de orden 2):

         

La diferencia aplicada 3 veces (diferencia de orden 3):

         
                  
La diferencia aplicada 4 veces (diferencia de orden 4):  

         
 

               En general, diferencia de orden n:

    
(Demostración: ∆nyt = (E − 1)n(yt): el binomio de Newton aplicado a (E − 1))

(v)               Diferencia de la multiplicación de funciones:

         

          La diferencia de la multiplicación de dos funciones es la suma de una de las funciones por la diferencia de la otra más el desplazamiento de la otra multiplicada por la diferencia de la anterior.

Tabla 2.b.1
Resumen de las propiedades del Operador Diferencia

Diferencias de algunas funciones:

1. La diferencia de una constante es cero:

2)                La diferencia de la identidad es uno:

3)                Diferencia del cuadrado:

4)                Diferencia del cubo

5)                Diferencia de la n-esima potencia:

6)                Diferencia de una progresión geométrica:

7)                Diferencia de la función factorial:

8)                Diferencia del seno:

9)                Diferencia del coseno:

         

Tabla 2.b.2
Diferencias de algunas funciones

	Funciones		Diferencias
	Nombre	Expresión
(1)	constante	yt = c	∆yt = 0
(2)	identidad	yt = t	∆yt = 1
(3)	cuadrado	yt = t²	∆yt = 2t + 1
(4)	cubo	yt = t3	∆yt =  3t² + 3t + 1
(5)	n-esima potencia	yt = tn	∆yt =
(6)	Pro­gre­sión geomé­trica:	yt = at	∆yt = at ∙(a – 1)
(7)	factorial	yt = t!	∆yt = t∙t!
(8)	seno	yt = senпt	∆yt = 0
(9)	coseno	yt = cosпt	−2   t par                  t par       ∆yt =                      2                             t impar

 

c) Operador Sumatoria

Definición

                                   

Significado

          El Operador sumatoria viene a ser la suma de todos los valores de la función entre dos momentos.

          Las sucesiones que se obtiene a partir de la aplicación del operador sumatoria se conocen también con el nombre de series.

Propiedades

(i)                Sumatoria de una constante por una función:

          La sumatoria de una constante por una función es la constante por la sumatoria de la función.

(ii)               Sumatoria de la suma de dos funciones:

          La sumatoria de la suma de dos funciones es la suma de las sumatorias de las dos funciones.
(iii)     (i) y (ii) ====> ∑ es un operador lineal:

(iv)              Sumación por pedazos (o por trozos)

          La suma total es la suma de las sumas parciales por trozos.

(v)               Desplazamiento de los limites:

          La suma con los limites desplazados es la suma normal de  la función desplazada.

(vi)               Relación entre diferencias y sumatorias

          La suma de una diferencia es la diferencia entre el valor del siguiente término y el valor del primer término.
y

La diferencia de una sumatoria es el siguiente término.

vii)               Sumación por partes

Tabla 2.c.1
Resumen de las propiedades del Operador Sumatoria

	Propiedades	Formulas
(i)	Sumatoria de una constante por una función
(ii)	Sumatoria de la suma
(iii)	∑ es un operador lineal
(iv)	Sumación por pedazos (o por trozos)
(v)	Desplazamiento de los limites
(vi)	Relación entre diferencias y sumatorias
(vii)	Sumación por partes

Sumatorias de algunas funciones:

1)                La suma de una constante:    

2)                La suma de la identidad.

3)                La suma de cuadrados:

4)                Suma de la progresión geométrica

Tabla 2.c.2
Sumatorias de algunas funciones

	Funciones		Sumatorias
	Nombre	Expresión
(1)	Constante	yt = c
(2)	Identidad	yt = t
(3)	Cuadrado	yt = t²
(4)	progresión geométrica	yt = mt

 

d)   Operador Razón

Definición

         
Significado
          El Operador razón Ρ, viene a ser la razón (el cociente) de los valores de la función entre dos momentos sucesivos: entre el momento t+1 y el momento t.

Propiedades

(i)                Razón de una constante por una función:

         
          La razón es invariante ante los factores de escala de una función. Esto la razón de una constante por una función sigue siendo la misma razón de la función.

(ii)               La razón aplicada dos veces (razón de orden 2):

         

La razón aplicada 3 veces (razón de orden 3):

                  
La razón aplicada 4 veces (razón de orden 4):
  

         
 

En general, la razón de orden n:

    

(iii)               Razón de la multiplicación de funciones:

         

          La razón de la multiplicación de dos funciones es el producto de las razones de cada una de las funciones.

(iv)              Razón de la inversa algebraica de una función:

         

          La razón de la inversa algebraica de una función es la inversa algebraica de la razón de dicha función.

 

 (v)              Razón de la división de dos funciones:

          La razón de la división de dos funciones es la división de las razones de dichas funciones.

 (vi)             Relación entre los operadores Razón y Diferencia:

Tabla 2.d.1
Resumen de las propiedades del Operador Razón

	Propiedades	Formulas
(i)	Razón de una constante por una función	Ρ(ayt) = Ρyt
(ii)	Razón aplicado n veces (Razón de orden n)
(iii)	Razón de la multiplicación de funciones	Ρ(xt.yt)   = Ρxt. Ρyt
(iv)	Razón de la inversa algebraica de una función	Ρ(1/xt)   =  1/Ρx t
(v)	Razón de la división de dos funciones	Ρ(xt /yt)  = Ρ xt/Ρy t
(vi)	Relación entre los opera­dores Razón y Diferencia:                yt = ln(xt)             (xt = Exp(yt))	∆yt  = ln(Ρxt)
		Ρxt = Exp(∆yt)

Razones de algunas funciones:

1)                La razón de una constante es uno:

2)                Razón de la identidad:

3)                Razón del cuadrado:

4)                Razón del cubo

5)                Razón de la n-esima potencia:

6)                Razón de una progresión geométrica:

7)                Razón de la función factorial:

 

Tabla 2.d.2
Razones de algunas funciones

	Funciones		Diferencias
	Nombre	Expresión
(1)	constante	yt = c	Ρyt = 1
(2)	identidad	yt = t	Ρyt = 1 + 1/t
(3)	cuadrado	yt = t²	Ρyt = 1 + 2/t + 1/ t²
(4)	cubo	yt = t3	Ρyt = 1 + 3/t + 3/t2 + 1/t3
(5)	n-esima potencia	yt = tn	Ρyt =
(6)	pro­gre­sión geo­mé­trica	yt = at	Ρyt = a
(7)	factorial	yt = t!	Ρyt = t + 1

e) Operador Productoria

Definición

                                  

Significado

          El Operador productoria viene a ser el producto (multiplicación) de todos los valores de la función entre dos momentos.

Propiedades

(i)                Productoria de una constante por una función:

          La productoria de una constante por una función es la constante elevado a la potencia de la cantidad de términos de esta productoria por la productoria de la función.

(ii)               Productoria de la multiplicación de funciones:

          La productoria de la multiplicación de dos funciones es la multiplicación de las productorias de cada una de las funciones.

(iii)               Productoria de la inversa algebraica de una función:

          La productoria de la inversa algebraica de una función es la inversa algebraica de la productoria de dicha función.

 

 (iv)             Productoria de la división de dos funciones:

          La productoria de la división de dos funciones es la división de las productorias de dichas funciones.

(v)               Multiplicación por pedazos (o por trozos)

          La productoria total es la multiplicación de las multiplicaciones parciales por trozos.

(vi)              Desplazamiento de los limites:

          La multiplicación con los limites desplazados es la productoria normal de  la función desplazada.

(vii)              Relación entre razones y productorias

          La productoria de una razón es la división del valor del siguiente término entre el valor del primer término.
y

La razón de una productoria es el siguiente término.

 

(viii)             Relación entre los operadores Productoria y Sumatoria:

Tabla 2.e.1
Resumen de las propiedades del Operador Productoria

	Propiedades	Formulas
(i)	Productoria de una constante por una función
(ii)	Productoria de la multiplica­ción
(iii)	Productoria de la inversa algebraica
(iv)	Productoria de la división
(v)	Multiplicación por pedazos (o por trozos)
(vi)	Desplazamiento de los limites
(vii)	Relación entre razones y productorias
(viii)	Relación entre los operadores Productoria y Sumatoria.                yt = ln(xt)             (xt = Exp(yt))

Productorias de algunas funciones:

1)                El producto de una constante:    

2)                El producto de la identidad.

3)                El producto de la progresión geométrica

Tabla 2.e.2
Productorias de algunas funciones

	Funciones		Sumatorias
	Nombre	Expresión
(1)	Constante	yt = c
(2)	Identidad	yt = t
(3)	progresión geométrica	yt = mt

 

Ejercicios:

1)       Hallar

          a)                             R: [k(k+1)/2]2

  
b)                      R:

2)
          a)       Hallar ∆(1/yt)

          b)      Utilizar el resultado de a) para hallar                                                                                                                                                                                                                    

                     __k__         
                     \          1/[t(t+1)]
                     /____    
                    t = 1   

Resolución de los ejercicios propuestos:

Ejercicio 1.a.

 

Ejercicio 1.b.