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DINÁMICA DISCRETA

DINÁMICA DISCRETA

Henri Claude Thonon (CV)

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CAPÍTULO 3

ECUACIONES EN DIFERENCIAS
 (Y/O DESPLAZAMIENTOS)

Ecuación en diferencias de orden n:

Ecuación en desplazamientos de orden n:

Las ecuaciones en diferencias se pueden llevar a ecuaciones en desplazamientos y viceversa.

Las ecuaciones en desplazamiento también reciben el nombre de ecuaciones de recursividad (o funciones recursivas), y se escriben de la forma:

         
f(Enyt, En-1yt, ......, Eyt, yt, t) = 0  

         
yt = g(yt-1, yt-2, ......, yt-n, t)   

Resolución de algunas ecuaciones de primer orden:

a)       La diferencia igual a cero

          la función es igual una constante (su valor inicial)

  • La diferencia es igual una constante


                 

          la función es igual a una recta con pendiente la constante, y como punto de corte su valor inicial.

c)                 La diferencia es igual a la identidad


                 
la función es una función cuadrática.

d)       La diferencia es una progresión geométrica

          la función también es una progresión geométrica

e)       Ecuación en desplazamiento lineal homogénea


         
         

f)                 Ecuación en desplazamiento lineal no homogénea:


         
         

g)       Ecuación en desplazamiento (con diferencia) lineal no homogénea:


         
Nota: si en la ecuación (g) B = 0, entonces (g) es una ecuación en diferencia lineal homogénea de primer orden a coeficiente constantes, y la solución será:


         
Definiciones

Punto de Equilibrio:       Se dice ye = yt, para algún t >= 0, es un punto de equilibrio si yt+k = ye, k = 1, 2, ...

Comportamiento de una solución de una ecuación en diferencia

1.-      Si yt < yt+1 < yt+2 ..... < y∞ = ∞, para cierto t ≥ 0,
          Se dirá que la solución crece monótonamente divergiendo.

2.-      Si yt < yt+1 < yt+2 ..... < ya, para cierto t ≥ 0,
          Se dirá que la solución crece monótonamente convergiendo asintoticamente a su punto de atracción ya.

3.-      Si yt > yt+1 > yt+2 ..... > y∞ = -∞, para cierto t ≥ 0,
          se dirá que la solución decrece monótonamente divergiendo.

4.-      Si yt > yt+1 > yt+2 ..... > ye, para cierto t ≥ 0,
          se dirá que la solución decrece monótonamente convergiendo asintoticamente a su punto de atracción ya.

5.-      Si yt = ut + (−1)t•vt
          se dirá que la solución es oscilatoria

6.-      Si la solución es oscilatoria y
          vt < vt+1 < vt+2 ..... < v∞ = ∞, para cierto t ≥ 0,
          se dirá que la solución es una expansión explosiva.

6.-      Si la solución es oscilatoria y
          vt > vt+1 > vt+2 ..... > v∞ = 0, para cierto t ≥ 0,
          se dirá que la solución es una oscilación amortiguada.

7.-      Si la solución es una oscilación amortiguada y
          Si ut ≥ ut+1 ≥ ut+2 ..... ≥ ye  o  ut ≤ ut+1 ≤ ut+2 ..... ≤ ye   para cierto t ≥ 0,
          se dirá que es una oscilación amortiguada convergente a ya

Equilibrio Estable.    Si un punto de equilibrio es un punto de atracción de dirá que es un equilibrio estable.

Análisis de las soluciones de las ecuaciones anteriores

a)       La solución es una constante con yo como punto de equilibrio.

Y0 =

1

t

yt

1

1

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

8

1

9

1

10

1

b)       La solución es monótona creciente o decreciente (según el valor de a sea positivo o negativo) divergente.

y0 =

0

a =

1

t

yt

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

y0 =

10

a =

-1

t

yt

0

10

1

9

2

8

3

7

4

6

5

5

6

4

7

3

8

2

9

1

10

0

c)       La solución crece monótonamente divergiendo.

y0 =

0

t

yt

0

0

1

1

2

3

3

6

4

10

5

15

6

21

7

28

8

36

9

45

10

55

d)       1.-      Si m > 1, la solución crece monótonamente divergiendo.

y0 =

0

m =

2

t

yt

0

0

1

1

2

3

3

7

4

15

5

31

6

63

7

127

8

255

9

511

10

1023

          2.-      Si 0 < m < 1,  la solución crece monótonamente convergiendo asintoticamente a su punto de atracción:
ya = yo + 1/(1 − m)

y0 =

2

m =

0,5

t

yt

0

2

1

3

2

3,5

3

3,75

4

3,875

5

3,9375

6

3,9688

7

3,9844

8

3,9922

9

3,9961

10

3,998

         
          3.-      Si 0 > m > − 1,  la solución oscila asintoticamente convergiendo asintoticamente a su punto de atracción:
ya = yo + 1/(1 − m)

y0 =

2

m =

-0,5

t

yt

0

2

1

3

2

2,5

3

2,75

4

2,625

5

2,6875

6

2,6563

7

2,6719

8

2,6641

9

2,668

10

2,666

          4.-      Si  m = − 1,  la solución oscila indefinidamente alteran los valores: y0, y0 + 1.

y0 =

2

m =

-1

t

yt

0

2

1

3

2

2

3

3

4

2

5

3

6

2

7

3

8

2

9

3

10

2

          5.-      Si −1 > m,  la solución oscila en forma de expansión explosiva.

y0 =

400

m =

-2

t

yt

0

400

1

401

2

399

3

403

4

395

5

411

6

379

7

443

8

315

9

571

10

59

e)       1.-      Si A > 1, la solución crece monótonamente divergiendo.

y0 =

1

A =

2

t

yt

0

1

1

2

2

4

3

8

4

16

5

32

6

64

7

128

8

256

9

512

10

1024

          2.-      Si 0 < A < 1,  la solución decrece monótonamente convergiendo asintoticamente a su punto de equilibrio 0.

y0 =

2

A =

0,5

t

yt

0

2

1

1

2

0,5

3

0,25

4

0,125

5

0,0625

6

0,0313

7

0,0156

8

0,0078

9

0,0039

10

0,002

          3.-      Si 0 > A > − 1,  la solución oscila amortiguadamente convergiendo a su punto de equilibrio 0.

y0 =

1

A =

-0,5

t

yt

0

1

1

-0,5

2

0,25

3

-0,125

4

0,0625

5

-0,031

6

0,0156

7

-0,008

8

0,0039

9

-0,002

10

0,001

         
          4.-      Si  A = − 1,  la solución oscila indefinidamente alteran los valores: y0, −y0.

y0 =

2

A =

-1

t

yt

0

2

1

-2

2

2

3

-2

4

2

5

-2

6

2

7

-2

8

2

9

-2

10

2

          5.-      Si −1 > A,  la solución oscila en forma de expansión explosiva.

y0 =

1

A =

-2

t

yt

0

1

1

-2

2

4

3

-8

4

16

5

-32

6

64

7

-128

8

256

9

-512

10

1024

f)       1.-      El punto de Equilibrio es ye = B/(1−A), de esta manera si yo = B/(1−A) la solución es constante.

y0 =

2

A =

0,5

B =

1

ye =

2

t

yt

0

2

1

2

2

2

3

2

4

2

5

2

6

2

7

2

8

2

9

2

10

2

          2.-      Si A > 1 y B/(1−A) < yo, la solución crece monótonamente divergiendo.

y0 =

2

A =

2

B =

1

ye =

-1

t

yt

0

2

1

5

2

11

3

23

4

47

5

95

6

191

7

383

8

767

9

1535

10

3071

3.-      Si A > 1 y B/(1−A) > yo, la solución decrece monótonamente divergiendo.
         


y0 =

2

A =

2

B =

-3

ye =

3

t

yt

0

2

1

1

2

-1

3

-5

4

-13

5

-29

6

-61

7

-125

8

-253

9

-509

10

-1021

          4.-      Si 0 < A < 1 y B/(1−A) < yo,  la solución crece monótonamente convergiendo asintoticamente a su punto de equilibrio B/(1−A).

y0 =

0

A =

0,5

B =

1

ye =

2

t

yt

0

0

1

1

2

1,5

3

1,75

4

1,875

5

1,9375

6

1,9688

7

1,9844

8

1,9922

9

1,9961

10

1,998

          5.-      Si 0 < A < 1 y B/(1−A) > yo,  la solución decrece monótonamente convergiendo asintoticamente a su punto de equilibrio B/(1−A).

y0 =

4

A =

0,5

B =

1

ye =

2

t

yt

0

4

1

3

2

2,5

3

2,25

4

2,125

5

2,0625

6

2,0313

7

2,0156

8

2,0078

9

2,0039

10

2,002

          6.-      Si 0 > A > − 1,  la solución oscila amortiguadamente convergiendo a su punto de equilibrio B/(1−A).

y0 =

3

A =

-0,5

B =

3

ye =

2

t

yt

0

3

1

1,5

2

2,25

3

1,875

4

2,0625

5

1,9688

6

2,0156

7

1,9922

8

2,0039

9

1,998

10

2,001

          7.-      Si  A = − 1,  la solución oscila indefinidamente alteran los valores: y0, 2•B/(1−A) − yo.

y0 =

3

A =

-1

B =

4

ye =

2

t

yt

0

3

1

1

2

3

3

1

4

3

5

1

6

3

7

1

8

3

9

1

10

3

          8.-      Si −1 > A,  la solución oscila en forma de expansión explosiva.

y0 =

3

A =

-2

B =

4

ye =

1,3333

t

yt

0

3

1

-2

2

8

3

-12

4

28

5

-52

6

108

7

-212

8

428

9

-852

10

1708

g)       1.-      El punto e Equilibrio es ye = B/A, de esta manera si yo = B/A la solución es constante.

y0 =

2

A =

0,5

B =

1

ye =

2

t

yt

0

2

1

2

2

2

3

2

4

2

5

2

6

2

7

2

8

2

9

2

10

2

2.-      Si 1−A > 1 (A < 0) y B/A < yo, la solución crece monótonamente divergiendo.

y0 =

2

A =

-1

B =

1

ye =

-1

T

yt

0

2

1

5

2

11

3

23

4

47

5

95

6

191

7

383

8

767

9

1535

10

3071

          3.-      Si 1−A > 1 (A < 0) y B/A > yo, la solución decrece monótonamente divergiendo.

y0 =

2

A =

-1

B =

-3

ye =

3

T

yt

0

2

1

1

2

-1

3

-5

4

-13

5

-29

6

-61

7

-125

8

-253

9

-509

10

-1021

          4.-      Si 0 < 1−A < 1 (0 < A < 1) y B/A < yo,  la solución crece monótonamente convergiendo asintóticamente a su punto de equilibrio B/A.

y0 =

0

A =

0,5

B =

1

ye =

2

T

yt

0

0

1

1

2

1,5

3

1,75

4

1,875

5

1,9375

6

1,9688

7

1,9844

8

1,9922

9

1,9961

10

1,998

          5.-      Si 0 < 1−A < 1  (0 < A < 1) y B/A > yo,  la solución decrece monótonamente convergiendo asintóticamente a su punto de equilibrio B/A.

y0 =

4

A =

0,5

B =

1

ye =

2

T

yt

0

4

1

3

2

2,5

3

2,25

4

2,125

5

2,0625

6

2,0313

7

2,0156

8

2,0078

9

2,0039

10

2,002

          6.-      Si 0 > 1−A > − 1 (1 < A < 2),  la solución oscila amortiguadamente convergiendo a su punto de equilibrio B/A.

y0 =

3

A =

1,5

B =

3

ye =

2

T

yt

0

3

1

1,5

2

2,25

3

1,875

4

2,0625

5

1,9688

6

2,0156

7

1,9922

8

2,0039

9

1,998

10

2,001

          7.-      Si  1−A = − 1 (A = 2),  la solución oscila indefinidamente alteran los valores: y0, 2•B/A − yo.

y0 =

3

A =

2

B =

4

ye =

2

T

yt

0

3

1

1

2

3

3

1

4

3

5

1

6

3

7

1

8

3

9

1

10

3

          8.-      Si −1 > 1−A (A > 2),  la solución oscila en forma de expansión explosiva.

y0 =

3

A =

3

B =

4

ye =

1,3333

T

yt

0

3

1

-2

2

8

3

-12

4

28

5

-52

6

108

7

-212

8

428

9

-852

10

1708

Ecuaciones lineales no homogéneas de primer orden a coeficientes constantes.

                    ∆yt + A•yt = f(t)             (1)

a) Variación de parámetros:

     Se supondrá que:

                yt = v(t).u(t)     (2)

en donde u(t) es solución de la ecuación homogénea

               u(t) = ut = uo(1−A)t,  (3)

entonces:

               ∆yt =  vt∆ut + ut+1∆vt  (4)

sustituyendo  (2) y (4) en (1):

      vt∆ut + ut+1∆vt + Autvt = f(t)

     vt (∆ut + Aut) + u t+1∆vt = f(t)

                      u t+1∆vt = f(t)

                    ∆vt = f(t)/ut+1

                      vt = vo +  

                      vt = vo + (1/uo)  

======>       yt = yo(1−A)t + (1−A)t−1  

Ejemplo: Resolución de la (g)

               yt = yo(1−A)t + (1−A)t−1  

                                                        1 − 1/(1−A)t
                  = yo(1−A)t + (1−A)t−1B ---------------
                                                        1 − 1/(1−A)

                                                        [(1-A)t − 1]/(1−A)t
                  = yo(1−A)t + (1−A)t−1B -------------------------
                                                             −A/(1−A)

                                           (1−A)t − 1
                  = yo(1−A)t − B --------------
                                                 A
Ejercicio 3:
          Resolver y describir el comportamiento de:

          ∆yt = Aytyt+1

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