DIN�MICA DISCRETA

CAPÍTULO 1

CONCEPTOS BÁSICOS

Conjuntos Discretos Infinitos:

          Diremos que D es un conjunto discreto infinito (CDI) si;

a)       D tiene un primer elemento e.

b)       si x Î D entonces y = x + d  Î D.

c)       a z Î D  |  x ≤ z ≤ x + d.

Teorema:
          D es un conjunto discreto infinito (CDI) sii es isomorfo a los números naturales.

Conjuntos Discretos Finitos:

          Diremos que D es un conjunto discreto finito (CDF) si;

a)       D tiene un primer elemento e.

b)       si  x (x ≠ e) Î D entonces y = x - d  Î D.

c)       $ z Î D  |  y = z + d v D.

d)       a z Î D  |  x ≤ z ≤ x + d.

Principio de Inducción Completa:

          Sea D un CDI y P una propiedad cuya validez se quiere demostrar en D, entonces:
1)       Se prueba que P se cumple para e.
2)       Se supone que P es verdadera para un k Î D cualquiera.
3)       Si a partir de 1) y 2) que es verdadera para k + d, entonces P es verdadera " x Î D.

Función sobre un conjunto discreto

          Se dirá que f(t) (o también yt ) es una función definida sobre un conjunto discreto (o simplemente una función discreta) si:
f : D ¾¾® C

en donde D es un conjunto discreto y C un conjunto cualquiera, casi siempre un subconjunto de los números Reales, pero también podría ser un subconjunto de los números Complejos.
          A las funciones definidas sobre un conjunto discreto también se les denomina sucesiones.

Operador (monário) de una función discreta:

          Sea F el conjunto de las funciones discretas, se dirá que O es un operador (monário) si F es una transformación de en F:
O : F ¾¾® F

Operador lineal de una función discreta:

          Sea F el conjunto de las funciones discretas, se dirá que L es un operador lineal si:
" xt, yt, Î F,  L(axt + byt) = aL(xt) + bL(yt).

Sucesiones Convergentes y Limite

          Se dice que una sucesión xt es convergente (a medida que t crece) y su límite es L si " ε > 0, $ T tal que  " t > T, | xt – L | < ε.
          Y se denota por:

Ejemplo: