DIN�MICA DISCRETA

B.–    Modelos de Segundo Orden.

1.–     El Modelo de Samuelson de la Interacción entre el Multiplicador y el Acelerador.

El modelo:
1.–     Se supone que la renta nacional (Y) consta de tres corrientes: Consumo (C), Inversión (I) y Gasto Público (G):
                             Yt = Ct + It + Gt
2.–     El consumo se define como una función de la renta actual, sino de la renta del periodo anterior; y para simplificar se supone de que este consumo es proporcional a dicha renta:
                             Ct = C(Yt–1) = γ•Y t–1                           (0 < γ < 1)
3.–     La inversión de mantiene en una relación fija con respecto al incremento en el consumo:
                             It = α•∆C t–1 = α•(Ct – C t–1)                 (α > 0)
4.–     El gasto Público se supone constante:
                             Gt = Go

          De esta manera el modelo queda representado con el siguiente sistema de ecuaciones:
                             Yt = Ct + It + Go
                             Ct = γ•Y t–1                      (0 < γ < 1)
                             It = α•(Ct – C t–1)              (α > 0)

Solución del modelo:

          Sustituyendo la segunda ecuación en la última y el resultado en la primera:
                             Yt = γ•Y t–1 + α•(γ•Y t–1 – γ•Yt–2) + Go
reagrupando términos y normalizando:
                             Yt+2 – γ•(1 + α)•Yt+1 + α•γ•Yt = Go.
          Las raíces características de esta ecuación son:

las cuales serán:
a) reales y diferentes si:
                                       γ > 4•α/(1+ α)²;
b) reales iguales si:
                                        γ = 4•α/(1+α)²;
c) y complejas si:
                                       γ < 4•α/(1+α)²;
          Mientras que la solución particular será:
                                       Yp = Go/(1 – y).
y representa el punto de equilibrio.
                    Además, es de notar que nunca una de las raíces puede valer uno (1), ya que: 0 < γ < 1.

Análisis de la solución:

Caso 1: Dos raíces reales distintas: γ > 4•α/(1+α)².
      Es claro que tanto m1 como m2 son positivas y que m1 > m2, por lo tanto:
a)   la solución será convergente si m1 < 1, y esta condición se da si γ•(1+α) < 2. O sea, combinando con la condición para que las raíces sean reales y distintas y 0 < γ < 1, α < 1.

b)   b)   de lo contrario la solución será divergente, dependiendo del signo de C1. Si C1 > 0, será creciente:

Mientras que si C1 < 0, entonces será decreciente, aunque en un primer momento pueda ser creciente.

Caso 2: Dos raíces reales iguales: γ = 4•α/(1+α)².
      Por lo tanto m = m1 = m2 = γ•(1+α)/2, por lo tanto sustituyendo la condición de las raíces iguales  se tiene:
                m = [4•α/(1+α)²]•(1+α)/2 = 2•α/(1+α)
a)   m será menor que 1 (m < 1) si y solo si α < 1, y en este caso la solución será convergente.

b)       de lo contrario la solución será divergente, dependiendo del signo de C2. Si C2 > 0, será creciente:

Mientras que si C2 < 0, entonces será decreciente, aunque en un primer momento pueda ser creciente.

Caso 3: Dos raíces complejas: γ < 4•α/(1+α)².
a)   Como R² = α•y, se tendrá entonces que la trayectoria de la solución es oscilatoria amortiguada entorno de la solución particular si y solo si:
α•γ < 1.

b)  Si α•γ = 1, se tendrá entonces que la trayectoria de la solución es oscilara entorno de la solución particular entre los valores:
Yp + C1 + C2  y  Yp – C1 – C2.

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c)   Y, por último, si α•γ > 1, se tendrá entonces que la trayectoria de la solución es oscilatoria explosiva.

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2.–     El Modelo del ciclo económico de Hicks (Versión Simplificada).

El modelo:
1.–     Se supone que la renta nacional (Y) consta de tres corrientes: Consumo (C), Inversión (I) y Gasto Público (G):
                             Yt = Ct + It + Gt
2.–     El consumo no se define como una función de la renta actual, sino de la renta del periodo anterior; y para simplificar se supone de que este consumo es proporcional a dicha renta:
                             Ct = C(Yt–1) = γ•Y t–1                           (0 < γ < 1)
3.–     La inversión se mantiene en una relación fija con respecto al incremento en el consumo y por lo tanto de la Renta:
                             It = α•∆C t–1 = k•∆Y t–2 = k•(Yt–1 – Y t–2)                 (k > 0)
4.–     El gasto Público se supone que aumenta en el tiempo a la tasa constante g:
                             Gt = Go•(1 + g)t

          De esta manera el modelo queda representado con el siguiente sistema de ecuaciones:
                             Yt = Ct + It + Gt
                             Ct = γ•Y t–1                      (0 < γ < 1)
                             It = k•(Yt–1 – Y t–2)          (k > 0)
                             Gt = Go•(1 + g)t

Solución del modelo:

          Sustituyendo las tres últimas ecuaciones en la primera:
                             Yt = γ•Y t–1 + k•(Y t–1 – Yt–2) + Go•(1 + g)t
reagrupando términos y normalizando:
                             Yt+2 – (γ + k)•Yt+1 + k•Yt = Go•(1 + g)t+2.

          Las raíces características de esta ecuación son:

          las cuales serán reales y diferentes si:
                                       (γ + k)² > 4•k;
          reales iguales si:
                                       (γ + k)² = 4•k;
          y complejas si:
                                       (γ + k)² < 4•k;
          Mientras que la solución particular será:
                    Yp = Go(1 + g) t+2 /[k  – (γ + k) (1 + g) + (1 + g)2].
          y representa la trayectoria de equilibrio.

Análisis de la solución:

Caso 1: Dos raíces reales distintas: (γ + k)² > 4•k.
Es claro que tanto m1 como m2 son positivas y que m1 > m2, por lo tanto la trayectoria de la solución será convergente a la solución particular si m1 < 1, y esta condición se da por ser γ  < 1.

Caso 2: Dos raíces reales iguales: (γ + k)² = 4•k.
Por lo tanto m = m1 = m2 = (γ + k)/2, por lo tanto sustituyendo la condición de las raíces iguales  se tiene:
                                   m =
      Y m será menor que 1 (m < 1) si y solo si k < 1, y en este caso la trayectoria de la solución será convergente a la solución particular.

De los contrario (k > 1), será divergente.

Caso 3: Dos raíces complejas: (γ + k)² < 4•k.
a)   Como R² = k = α•y, se tendrá entonces que la trayectoria de la solución es oscilatoria amortiguada entorno de la solución particular si y solo si:
k = α•γ < 1.

b)   Mientras que si k = 1 entonces las solución fluctuara entorno a la trayectoria de la solución particular y la amplitud de esta fluctuación de dependera a las constantes C1 y C2:

c) De lo contrario, k >1, será oscilatoria divergente expansiva.

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3.–     El Modelo de inventario de Metzler.

El modelo:
1.–     El Ingreso total (Y) producido en un periodo es igual a la producción de bienes para el consumo (U) más la los bienes producidos para inventario (S) más la inversión neta no inducida (V), supuesta constante:
                             Yt = Ut + St + V
2.–     Las ventas en cualquier periodo son una proporción constante del ingreso en el periodo anterior :
                             Ut = β•Y t–1                      (0 < β < 1)
3.–     La producción para el inventario es la diferencia entre las ventas reales y las pronosticadas el periodo anterior; es decir existe el intento de mantener el inventario en un nivel constante:
                             St = (Ut − U t–1) = β •(Yt–1 − Y t–2)       (0 < β < 1)

          De esta manera el modelo queda representado con el siguiente sistema de ecuaciones:

                             Yt = Ut + St + V
                             Ut = β•Y t–1                      (0 < β < 1)
                             St =  β•(Yt–1 − Y t–2)         (0 < β < 1)

Solución del modelo:
          Sustituyendo las dos últimas ecuaciones en la primera:
                             Yt = β•Y t–1 + β•(Yt–1 − Y t–2) + V
          reagrupando términos y normalizando:
                                        Yt+2 − 2β•Y t+1 + β•Y t = V
          Las raíces características de esta ecuación son:

las cuales serán complejas dada la condición de que 0 < β < 1
          Mientras que la solución particular será:
                                       Yp = V/(1 – β).
y representa el punto de equilibrio.

          Análisis de la solución:
      Dado que:
1) Se tiene como solución dos raíces complejas
2) y que R² = β, se tendrá entonces que la solución es amortiguada.
                         

4.–     Teorema de la telaraña y las expectativas (Goodwin).

El modelo es similar al modelo A.1, con la diferencia que los precios para los oferentes vienen dados por unas expectativas:
                            
De esta manera se tiene como modelo:
                                                 Dt = Ot.
                                                 Dt = α – ß•Pt                    (α, ß > 0)
                                                 Ot = –γ + δ•       (γ, δ > 0)
                                      
Solución del modelo:
          Sustituyendo las ecuaciones en la ecuación de equilibrio:
                             α – ß•Pt = –γ + δ•Pt–1 + δr•(Pt–1 − P t–2)
          reagrupando términos y normalizando:
                                        Pt+2 + (δ /ß)(1 +r) •P t+1 − (δr/β) •P t = (α + γ)/β
          Las raíces características de esta ecuación son:

las cuales serán reales, y m1 positiva (m1 > 0), m2 negativa (m2 < 0), y el valor absoluto de m2 mayor que el de m1 ( |m2| > |m1| ).

          Mientras que la solución particular será:
                                       Yp = (α + γ) /(β + δ).
y representa el punto de equilibrio.

Análisis de la solución:
         
a)       Si  m2 > −1 (o sea  |m2| < 1), y esto se da si:
                    ß > δ(1 + 2r)
          entonces será oscilatoria amortiguada:

b)       Si m2 = −1, oscilará entre dos valores: P* – C2, P* + C2 :

c)       y si m2 < −1 (o sea  |m2| > 1) entonces será oscilatoria explosiva: