DIN�MICA DISCRETA

CAPÍTULO 8

MODELOS ECONÓMICOS

A.–    MODELOS DE PRIMER ORDEN

1)       El modelo de la Telaraña.

          El modelo:
                    Se considera una situación en la cual la decisión de producir debe ser hecha en un periodo anterior al de la venta real.
                    Supóngase que la decisión de producción en el periodo t (Qt) se basa en el precio vigente (Pt). Sin embargo, puesto que esta producción no estará disponible para la venta hasta el periodo (t+1), Pt determinará no Ot sino Ot+1. Por lo tanto, se tendrá una función de oferta desfasada:
                                                 O t+1 = O(Pt),
          o retrasando el índice:
                                                 Ot = O(Pt–1).
          Mientras que la demanda en el periodo t (Dt) depende  de los precios en este periodo:
                                                 Dt = D(Pt).
          Y se supone que no existen excedentes, ni por parte de la Oferta, ni por parte de la demanda:
                                                 Dt = Ot.

          De ésta manera, suponiendo las funciones de oferta y demanda sean lineales, queda el siguiente sistema de ecuaciones:

                                                 Dt = Ot.
                                                 Dt = α – ß•Pt                    (α, ß > 0)
                                                 Ot = –γ + δ•P t–1     (γ, δ > 0)

          Solución del modelo:

          Sustituyendo las dos últimas ecuaciones en la primera:
                                       α – ß•Pt = – γ + δ •Pt–1,
          arreglando los términos:
                                       ß•Pt + δ •Pt–1 = α + y
          normalizando la ecuación respecto a los índices y a los coeficientes:
                                       Pt+1 + (δ/ß)•Pt = (α + γ)/ß;
          haciendo:
                                       A = – (δ/ß) y B = (α + γ)/ß,
          Dado que A ≠ 1, ya que A < 0, se tiene la ecuación (f) cuya solución es:
                              Pt = B/(1 – A) + [Po – B/(1 – A)]•At,
          o sea:
                    Pt = ((α +γ)/ß)/(1+(δ/ß))+[Po–((α +γ)/ß)/(1+(δ/ß))]•(–δ/ß)t,
          simplificando:
                    Pt = (α +γ)/(ß + δ) + [Po– (α + γ)/(ß + δ)]•(–δ/ß)t.

          Análisis de la solución:
1)      Es fácil ver que el comportamiento de P es oscilatorio, dado que A = –(δ/ß) es negativo.

2)      El punto de equilibrio es: P* = (α + γ)/(ß + δ).

3)      Que la trayectoria de P será, suponiendo Po ≠ P*:
                    a) amortiguado (o sea convergente)  si  δ/ß < 1,

                    b) divergente o explosivo si  δ/ß > 1,

                    c) y alternado, si δ/ß = 1

2)       Modelo de Mercado con Inventario.

El Modelo:
          Se supone que tanto la cantidad demandada (Dt) y la cantidad ofrecida corrientemente (Ot) son funciones lineales no desfasadas del precio Pt.
          El ajuste del precio se efectúa no a través del equilibrio del mercado en cada periodo, sino a través de la selección del precio por los vendedores, tomando en cuenta la situación de las existencias del periodo anterior, de manera tal que si aumenta el inventario se disminuye el precio.
          El ajuste anterior se supone que es proporcional al cambio observado en los inventarios (existencias), con la constante de proporcionalidad negativa.

          De esta manera se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
                             Dt = α – ß•Pt                              (α, ß > 0)
                             Ot = –γ + δ•Pt                            (γ, δ > 0)
                             Pt+1 = Pt – σ•(Ot – Dt)                (σ >0).

Solución del modelo:

          Sustituyendo las dos primeras ecuaciones en la última:
                             P t+1 = Pt – σ •(–γ + δ•Pt – (α – ß•Pt)),
agrupando:
                             P t+1 = σ •(α + γ) + (1 – σ •(ß + δ))•Pt,
para al final al tener:
                             P t+1 – (1 – σ •(ß + δ))•Pt = σ •(α + γ)
haciendo:
                             A = 1 – σ•(ß + δ) y B = σ•(α + γ),

Dado que A < 1, se tiene la ecuación (f) cuya solución es:

                    Pt = B/(1 – A) + [Po – B/(1 – A)]•At,
o sea:

Pt = σ•(α + γ)/(1 – (1 – σ•(ß + δ))) + [Po – σ•(α + γ)/(1 – (1 – σ•(ß + δ))))]•(1 – σ •(ß + δ))t,

Simplificando:

          Pt =(α + γ)/(ß+ δ) + [Po – (α + γ)/(ß+ δ)]•(1 – σ•(ß+ δ))t,

Análisis de la solución:
          1)      El punto de equilibrio es: P* = (α + γ)/(ß + δ).
          2)      Que la trayectoria de P será, suponiendo Po ≠ P*:
                    a)       Monótona convergente si  0 < σ•(ß+δ) < 1,

                    b)       Constante si  σ•(ß+ δ) = 1,
         

                    c)       oscilatorio amortiguado  si  1 < σ•(ß+δ) < 2,

                    d)       oscilatorio uniforme si σ•(ß+δ) = 2,

                    e)       y oscilatorio explosivo si  σ•(ß+δ) > 2.

 

3)       Modelo de Renta Nacional.

El Modelo:
          Se suponen las siguientes macromagnitudes:
          –        La "Renta Nacional" (Y),
          –        el "Consumo" (C) y
          –        la "Inversión" (I),
todas referidas al tiempo de manera tal que se cumpla la igualdad keynesiana:
                             Yt = Ct + It.
          Se formulan las siguientes hipótesis:
1.–     La función de consumo, C = C(Y), es de carácter lineal:
                             Ct = a + c•Yt                    (a ≥ 0, 0 < c < 1)
          (c es la propensión marginal al consumo).
2.–     El sistema económico se supone en régimen de pleno empleo. Ello implica que un determinado volumen de renta, destinado a la inversión, una vez se haya verificado ésta, provocará un incremento en la capacidad del sistema, y en consecuencia, en la propia renta nacional:
                             ∆Yt = Yt+1 – Yt = r•It                 (r > 0)
                    (r se lo que se denomina factor de crecimiento).

De esta manera el modelo se expresa mediante el siguiente sistema de ecuaciones:
                             Yt = Ct + It.
                             Ct = a + c•Yt                              (a ≥ 0, 0 < c < 1)
                             Yt+1 – Yt = r•It                           (r > 0).

Solución del modelo:

          Sustituyendo la segunda ecuación en la primera, y ésta en la tercera:
                    Y t+1 – Yt = r•(Yt – (a + c•Yt))

Agrupando términos:
                    Y t+1 – (1 + r•(1 – c))•Yt = – r•a,

haciendo
                    A = 1 + r•(1 – c)   y        B = – r•a

se tiene, por ser A > 1, la siguiente solución:
                    Yt = B/(1 – A) + [Yo – B/(1 – A)]•At,
o sea:
                    Yt = a/(1 – c) + [Yo – a/(1 – c)]•(1+r•(1–c))t.

Análisis de la solución:

          1)      El punto de equilibrio es: Y* = a/(1 – c).

          2)      Que la trayectoria de Y será:

                    a) Si Yo > Y*, monótona creciente,

b) y Si Yo < Y*, monótona decreciente.

4)       Modelo de Harrod.

El Modelo:
          Trata de explicar la dinámica del crecimiento en la Economía.
          Se suponen las siguientes macromagnitudes:
          –        La "Renta Nacional" (Y),

• el "Ahorro" (S),  y
• la "Inversión" (I).

          Se formulan las siguientes hipótesis:
1.–     El ahorro es una porción del Ingreso:
                                       St = s•Yt                (0 < s < 1)
          (s es la propensión marginal al ahorro).
2.–     El principio de aceleración, o sea, la inversión es proporcional al índice de cambio de los ingresos nacionales con el tiempo:
                             It = a•∆Yt = a•(Yt – Yt–1)           (a > 1)
                    (a es la razón marginal capital/producción).
3.–     En equilibrio la inversión es igual al ahorro:
                             It = St.

De esta manera el modelo se expresa mediante el siguiente sistema de ecuaciones:
                             St = s•Yt                                    (0 < s < 1)
                             It+1 = a•(Y t+1 – Yt)           (a > 0)
                             It = St.

Solución del modelo:

          Sustituyendo las dos primeras ecuaciones en la tercera desplazada:
                    a•(Y t+1 – Yt) = s•Y t+1
Agrupando términos y normalizando:
                    Y t+1 – a/(a – s)•Yt = 0,
haciendo
                    A = a/(a – s)
se tiene, por ser A ≠ 1, la siguiente solución:
                    Yt = Yo•At,
o sea:
                    Yt = Yo•(a/(a–s))t.
Análisis de la solución:

          Dado que a > 0 , y 0 < s < 1, entonces:
           a > s, para que el Ingreso Y sea todo el tiempo positivo, y por lo tanto se tiene que a/(a–s) > 1; por lo cual el comportamiento del Ingreso nacional es monótono creciente (explosivo).