DIN�MICA DISCRETA

C.– MODELOS DE ORDEN MAYOR QUE 2.

1.–     El Modelo del ciclo económico de Hicks.

          Este modelo es una generalización del modelo B.2.

El modelo:
1.–     Se supone que la renta nacional (Y) consta de tres corrientes: Consumo (C), Inversión (I) y Gasto Público (G):
                             Yt = Ct + It + Gt
2.–     El consumo no se define como una función de la renta actual, sino de la renta de los periodos anteriores; y para simplificar se supone de que este consumo es proporcional a dicha renta:
                             Ct = C(Yt–1, Yt–2, …..,Yt–n)
                             Ct = γ1•Y t–1 + γ2•Y t–2 +…..+ γn•Y t–n            (0 < åγi < 1)
3.–     La inversión se mantiene en una relación fija con respecto a los incremento de la renta de n periodos anteriores:
                    It = k1•∆Y t–2+ k2•∆Y t–3 + ........+ kn•∆Y t–n–1          (k1 ,k2,…, kn > 0)
                    It = k1•(Yt–1 − Y t–2) + k2•(Yt–2 − Y t–3)+ ........+ kn•(Yt–n − Y t–n–1)  (k1 ,k2,…, kn > 0)

4.–     El gasto Público se supone que aumenta en el tiempo a la tasa constante g:
                             Gt = Go•(1 + g)t

          De esta manera el modelo queda representado con el siguiente sistema de ecuaciones:
                    Yt = Ct + It + Gt
                    Ct = γ1•Y t–1 + γ2•Y t–2 +…..+ γn•Y t–n            (0 < åγi < 1)
                    It = k1•(Yt–1 − Y t–2) + k2•(Yt–2 − Y t–3)+ ........+ kn•(Yt–n − Y t–n–1)  (k1, k2,…, kn > 0)
                    Gt = Go•(1 + g)t

Solución del modelo (para el caso n = 2):

                    En este caso se tiene el sistema de ecuaciones:
                    Yt = Ct + It + Gt
                    Ct = γ1•Y t–1 + γ2•Y t–2                             (0 < γ1 + γ2 < 1)
                    It = k1•(Yt–1 − Y t–2) + k2•(Yt–2 − Y t–3)                             (k1, k2  > 0)
                    Gt = Go•(1 + g)t

          Sustituyendo las tres últimas ecuaciones en la primera:
Yt = γ1•Y t–1 + γ2•Y t–2 + k1•(Yt–1 − Y t–2) + k2•(Yt–2 − Y t–3) + Go•(1 + g)t
reagrupando términos y normalizando:
          Yt+3 – (γ1 + k1)•Yt+2  – (γ2 + k2 − k1)•Yt+1 + k2•Yt = Go•(1 + g)t+3.
Por lo tanto la solución vendrá dada por las raices de la ecuación cúbica:
x3 – (γ1 + k1)• x2  – (γ2 + k2 − k1)•x + k2 = 0
y la solución particular por:
Yp = Go•(1 + g)t+3 / [(1 + g)3 – (γ1 + k1)•(1 + g)2 – (γ2 + k2 − k1)•(1 + g) + k2]

          Análisis de la solución:
                    Dado que el término independiente (k2) es mayor que cero, y el coeficiente del término cuadrático (– (γ1 + k1)) es negativo tenemos los siguientes casos:
          a)       Dos raices reales positivas y una negativa, todas de módulo menor que 1. En este caso la solución converge a la solución particular:

b)       Dos raices reales positivas y una negativa, alguna de módulo mayor que 1. En este caso la solución diverge a la solución particular:

c)       Dos raices complejas conjugadas y una real negativa, todas de módulo menor que 1. En este caso la solución converge de manera oscilatoria a la trayectoria particular:

d)                          Dos raices complejas conjugadas y una real negativa, algunas de módulo mayor que 1. En este caso la solución diverge de manera oscilatoria de la trayectoria particular:

2.–     El Modelo de de inventario de Metzler.

            A diferencia del Modelo B3, el segundo enunciado en el cual se suponia que las espectativas de ventas son iguales al consumo del periodo anterior, se supone que las mismas son iguales al consumo del periodo anterior más una proporción del incremento del periodo anterior:
Ut = Ct−1 + r(Ct−1 ­− Ct−2) = βYt-1 + rβ(Yt−1 ­− Yt−2)
          Por lo cual la producción para existencias quedaría como:
St = (Ut − U t–1) = β •(Yt–1 − Y t–2) + rβ[(Yt−1 ­− Yt−2) ­− (Yt−2 ­− Yt−3)]
          Por lo tanto queda el siguiente sistema de ecuaciones:
                    Yt = Ut + St + V
                    Ut = βYt-1 + rβ(Yt−1 ­− Yt−2)                           (0 < β < 1)
                    St =  β(1+ r)Yt-1 − β•(1+2r)Y t–2 + rβ Yt−3   (0 < β < 1)

Solución del modelo:
          Sustituyendo las dos últimas ecuaciones en la primera:             
Yt = β•Y t–1 + rβ(Yt−1 ­− Yt−2) + β(1+ r)Yt-1 − β•(1+2r)Y t–2 + rβ Yt−3 + V
          reagrupando términos y normalizando:
                              Yt+3 − 2β•(1 + r)Y t+2 + β•(1 + 3r)Y t+2 − βr•Y t = V
Por lo tanto la solución vendrá dada por las raices de la ecuación cúbica:
x3 – 2β•(1 + r)• x2  + β•(1 + 3r)•x − βr = 0

y la solución particular por:
Yp = V/(1– β)

          Análisis de la solución:

                    Dado que el término independiente (βr) es negativo, y el coeficiente del término cuadrático (–2β•(1 + r)) es negativo también, tenemos los siguientes casos:
a)                          Dos raices complejas conjugadas y una real positiva, todas de módulo menor que 1. En este caso la solución converge de manera oscilatoria a la trayectoria particular:

b)                          Dos raices complejas conjugadas y una real positiva, una al menos de módulo mayor que 1. En este caso la solución diverge de manera oscilatoria a la trayectoria particular:

          c)       Tres raices reales positivas, alguna de módulo mayor que 1. En este caso la solución diverge de solución particular: