DINÁMICA DISCRETA

DINÁMICA DISCRETA

Henri Claude Thonon (CV)

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D.– MODELOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES.

1.– Modelo de Renta Nacional de dos Paises.

El Modelo:
          Este modelo es parecido al modelo A.3, pero es entre dos países en donde las exportaciones del uno es igual a las importaciones del otro
          Se suponen las siguientes macromagnitudes:
          –        La "Renta Nacional" (Yi),
          –        el "Consumo" (Ci),
          –        la "Inversión" (Ii),
          –        las importaciones (Mi) y
          –        las exportaciones (Xi),

todas referidas al tiempo de manera tal que se cumpla la igualdad:
                             Yit = Cit + Iit + Xit − Mit.
          Se formulan las siguientes hipótesis:
1.–     La función de consumo, Ci = Ci (Y), es de carácter lineal:
                             Cit = ai + ci•Yit                 (a ≥ 0, 0 < c < 1)
          (c es la propensión marginal al consumo).
2.–     El sistema económico se supone en régimen de pleno empleo. Ello implica que un determinado volumen de renta, destinado a la inversión, una vez se haya verificado ésta, provocará un incremento en la capacidad del sistema, y en consecuencia, en la propia renta nacional:
                             ∆Yit = Yit+1 – Yit = ri•Iit              (r > 0)
                    (ri se lo que se denomina factor de crecimiento).
3.–     Las importaciones son una proporción de la renta nacional más una importación inducida:
                             Mit = M0i + mi•Yit            (M0 ≥ 0, 0 < m < 1)
4.–     Las importaciones de un país son iguales a las exportaciones del otro:
                             Xit = Mjt                

De esta manera el modelo se expresa mediante el siguiente sistema de ecuaciones:
          Y1t = C1t + I1t + X1t − M1t                              Y2t = C2t + I2t + X2t − M2t
          C1t = a1 + c1•Y1t                        C2t = a2 + c2•Y2t    
          Y1t+1 – Y1t = r1•I1t                      Y2t+1 – Y2t = r2•I2t 
          M1t = M01 + m1•Y1t                   M2t = M02 + m2•Y2t
                    X1t = M2t                                                     X2t = M1t

Solución del modelo:

          Sustituyendo la segunda, cuarta y quinta ecuación en la primera, y ésta en la tercera:
                    Y1t+1 = (1 + r1•(1 – c1 + m1))•Y1t +  r1•(M01 – a1) – r1M2t,
                    Y2t+1 = (1 + r2•(1 – c2 + m2))•Y2t +  r2•(M02 – a1) – r2M1t,
          Sustituyendo en las ecuaciones anteriores las cuartas ecuaciones:
Y1t+1 = (1 + r1•(1 – c1 + m1))•Y1t  – r1 m2•Y2t +  r1•(M01 – M02 – a1),
Y2t+1 = (1 + r2•(1 – c2 + m2))•Y2t  – r2 m1•Y1t +  r2•(M02 – M01 – a2),

          Haciendo:
          A11 =  1 + r1•(1 – c1 + m1)        A12 =   – r1 m2
               A21 =  – r2 m1                                          A22 = 1 + r2•(1 – c2 + m2)
          y
                             B1 = r1•(M01 – M02 – a1)
                             B2 = r2•(M02 – M01 – a2)

          tenemos el siguiente sistema:
                            
          Cuya solución viene dado por:
Yt = At∙ Y0 + [I – A]−1∙b
          ya que el determinante de [I – A] viene dado por:
r1r2([1–c1] [1–c2] + [1–c1]m2 + [1–c2]m1)
          y este nunca será nulo.

          Análisis de la solución:

          Pueden darse los siguientes casos:
a)       Que las dos rentas sean decrecientes:

PAIS 1

PAIS 2

a =

0,5

0,5

c =

0,5

0,5

r =

0,2

0,2

m=

0,3

0,2

M0=

0,2

0,2

Yo =

0,7

0,8

Y* =

0,9

1,1

t

Y1

Y2

0

0,7

0,8

1

0,68

0,77

2

0,658

0,737

3

0,633

0,701

4

0,607

0,661

5

0,578

0,617

6

0,546

0,569

7

0,510

0,515

8

0,471

0,457

9

0,428

0,393

10

0,381

0,322

11

0,329

0,244

12

0,272

0,158

13

0,210

0,064

 

 

 


b)      Una sea creciente y la otra decreciente:

PAIS 1

PAIS 2

a =

0,5

0,5

c =

0,5

0,5

r =

0,2

0,2

m=

0,3

0,2

M0=

0,2

0,2

Yo =

0,9

2

Y* =

0,9

1,1

 

t

Y1

Y2

0

0,9

2

1

0,864

2,126

2

0,817

2,272

3

0,757

2,441

4

0,681

2,637

5

0,584

2,865

6

0,463

3,132

7

0,312

3,442

8

0,124

3,805

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


c)       Que las dos rentas sean crecientes:

PAIS 1

PAIS 2

a =

0,5

0,5

c =

0,3

0,5

r =

1

1

m=

0,2

0,3

M0=

0,2

0,2

Yo =

2

2

Y* =

0,83333333

0,83333333

t

Y1

Y2

0

2,000

2,000

1

2,700

2,700

2

3,820

3,820

3

5,612

5,612

4

8,479

8,479

5

13,067

13,067

6

20,407

20,407

7

32,151

32,151

8

50,941

50,941

9

81,006

81,006

10

129,110

129,110

 

 

 

 

 

 

d)      Que las dos rentas son crecientes al principio, pero luego una de ellas empieza adecrecer:

PAIS 1

PAIS 2

a =

0,5

0,5

c =

0,3

0,5

r =

1,1

1

m=

0,2

0,3

M0=

0,2

0,2

Yo =

2

2

Y* =

0,83333333

0,83333333

t

Y1

Y2

0

2,000

2,000

1

2,770

2,700

2

4,071

3,806

3

6,296

5,537

4

10,152

8,207

5

16,944

12,242

6

29,129

18,146

7

51,428

26,337

8

93,100

36,621

9

172,635

46,798

10

327,550

49,209

11

635,035

22,566