EL SECTOR PRIMARI A LES TERRES DE L'EBRE

EL SECTOR PRIMARI A LES TERRES DE L'EBRE

Josep Maria Franquet Bernis (CV)
UNED

3.3. Exercici d’aplicació

Com aplicació de tot l’exposat fins aquí, vegem a continuació el següent exercici.

a) Situació d’incertesa.

“El cap del magatzem de productes fitosanitaris d’una cooperativa agrícola vol saber quina quantitat d’un herbicida determinat ha d’emmagatzemar al començament de l’hivern amb vistes a les seves vendes de primavera. Ha observat que, segons la pluviositat de l’any, podria vendre de 10 a 20 litres d’aquell producte. D’altra banda, ha observat que els fabricants venen l’herbicida a 10 € el litre els anys secs, a 15 € els anys normals i a 20 € els anys plujosos, si s’aprovisiona a la primavera. Pel contrari, el preu d’un litre de producte fitosanitari, comprat al començament de l’hivern, no és més que de 10 €. Quant al seu propi preu de venda, sempre és de 20 € el litre, qualssevulla que siguin les circumstàncies.

Es tracta de determinar l’stock a adquirir, tot tenint en compte una pèrdua del 10 per 100 sobre el valor dels stocks excedents (que no podran ser despatxats més que amb un any de retràs) i aplicant successivament els cinc criteris anteriorment relacionats: Laplace, Wald, Hurwicz, Savage i Maximax”.

Solució:

Examinem ara la situació de la cooperativa en les diferents hipòtesis que es poden produir:

COMPRES

Quantitat emmagatzemada abans de l’hivern

Any

Sec

Normal

Plujós

10

100

175

300

15

150

150

250

20

200

200

200

A la primera columna posem les diferents quantitats emmagatzemades abans de l’hivern, i anem completant el quadre tot fent les operacions oportunes. En les tres situacions climàtiques esmentades, la xifra de vendes totals serà:

 XIFRA DE NEGOCIS

Any

Sec

Normal

Plujós

200

300

400

El valor del stock restant (deduint el 10 per 100) vindrà donat pel quadre següent:

 

Quantitat emmagatzemada abans de l’hivern

Any

Sec

Normal

Plujós

10

0

0

0

15

45

0

0

20

90

45

0

La següent taula s’ha deduït de les especificacions anteriors i dóna els marges comercials realitzables, segons els diferents casos, a saber:

MARGES COMERCIALS

Quantitat emmagatzemada abans de l’hivern

Any

Sec (20%)

Normal (50%)

Plujós (30%)

maximin

10

100

125

100

    100 ¬

15

95

150

150

95

20

90

145

200

90

minimax

100

150

200

--

                                                 ­
amb la següent representació gràfica:

A continuació aplicarem successivament els cinc criteris abans relacionats:

1) Criteri de Wald o de Von Neumann.

Aquest joc contra la naturalesa presenta un punt de cadira de valor 100 com es pot veure a la figura anterior: l’estratègia mixta òptima es redueix, doncs, a una estratègia pura i el cooperativista haurà de preveure cada any un stock de 10 litres d’herbicida, al principi de l’hivern.
2) Criteri de Laplace.

          Fila 1:          325/3 = 108’33 ;
          Fila 2:          395/3 = 131’67 ;
          Fila 3:          435/3 = 145’00 ¬

Segons aquest criteri s’hauran d’adquirir, doncs, 20 litres abans de cada hivern.

3) Criteri de Hurwicz (amb a = ½).

Aquest criteri combina ponderadament l’optimisme i el pessimisme. Es basa en un recorregut de l’optimisme (a)de 0 a 1; en conseqüència, el coeficient de pessimisme serà (1-a). Per tant, a l’exemple que ens ocupa el coeficient de pessimisme serà: 1 – 0’5 = 0’5. Valora només els valors extrems, ponderant els màxims per coeficient d’optimisme i els mínims per coeficient de pessimisme. Així doncs, tindrem:

                    Fila 1: = 1/2 ´ 125 + 1/2 ´ 100 = 62’5 + 50 = 112’5
                    Fila 2: = 1/2 ´ 150 + 1/2 ´ 95 = 75 + 47’5 = 122’5
               ® Fila 3: = 1/2 ´ 200 + 1/2 ´ 90 = 100 + 45 = 145

També s’han d’adquirir 20 litres abans de cada hivern, segons aquest criteri.

4) Criteri de Savage.

L’utilitzarien les persones que tenen por a equivocar-se i penedir-se’n. Construeix una nova matriu amb els costos d’oportunitat en base a no escollir la millor estratègia en cada estat de la natura. Després s’esbrina els valors més alts (costos més grans) de cada estratègia. Per últim, s’escull el valor més baix que representa l’estratègia que té el cost d’oportunitat menor.

La matriu resultant de “perjudicis” és la següent:  



                                       10 l.     0      25      100    100
                                       15 l.     5        0        50      50    minimax
                                       20 l.   10        5          0      10  ¬

L’estratègia pura òptima correspon, novament, a un aprovisionament de 20 litres abans de l’hivern. No té sentit que la cooperativa cesi en la seva activitat de servei al soci al cap d’un any.

L’estratègia mixta òptima per al cooperativista és la següent:

x1* = 1/11 ;   x2* = 0 ;   x3* = 10/11

el “perjudici” corresponent a aquesta estratègia és:

r = 100/11 = 9’090909...

5) Criteri del Maximax (optimista).

També, en aquest darrer cas, s’escolliria una aprovisionament de 20 litres abans de l’hivern, ja que considerant un altre cop la matriu de guanys comercials, es té que:  



                                       10 l.   100    125    100    125
                                       15 l.     95    150    150    150    maximax
                                       20 l.     90    145    200    200  ¬

b) Situació de risc.

Fins ara hem resolt el problema plantejat en una situació típica de “incertesa” 1. Pel contrari, en situació de “risc” coneixem la llista d’estats de la naturalesa i la seva probabilitat d’ocurrència. Com els successos són excloents2 tenim que la suma de les probabilitats de tots els estats de la naturalesa ha d’ésser igual a la unitat (probabilitat total). El criteri que s’utilitza per a comparar els resultats corresponents a cada línia d’actuació és la major “esperança matemàtica”, o sigui, el producte de la pèrdua o el guany de cada cas o situació per la probabilitat de la seva ocurrència. Ara bé, el fet d’utilitzar com a únic criteri de decisió l’esperança matemàtica suposa assumir també certes hipòtesis de sortida, a saber:

  • Que al subjecte decisor no l’importi la dispersió o variabilitat del resultat (no es té en compte la desviació típica).
  • Que no existeixi risc de ruïna o fallida: és el risc que el desenllaç d’una estratègia pugui suposar un crebant econòmic tal que no pugui ser superat per l’empresa. En aquest cas, el decisor passaria a escollir només entre aquelles alternatives els resultats més desfavorables de les quals puguin ésser assumits per l’empresa. Té que veure això amb la capacitat d’assumir pèrdues.

Doncs bé, per tal de solucionar aquestes molestes limitacions es construeixen unes determinades funcions d’utilitat, com veurem a continuació.

Consideració de la variabilitat dels resultats: implica penalitzar l’esperança econòmica per una mesura que doni idea de la variabilitat de les dades, considerant la multiplicació d’aquesta mesura de variabilitat per un determinat coeficient indicatiu de temor al risc (a) del subjecte decisor. La funció d’utilitat es troba restant al valor esperat de cada alternativa el coeficient d’aversió multiplicat per la desviació típica sx, i considerant els següents valors:

  • Si a ® 1, major aversió al risc. L’inversor presenta un perfil més conservador.
  • Si a ® 0, poca aversió al risc. L’inversor presenta un perfil més arriscat.

Funció d’utilitat = U(Xi) = E(Xi) – a · sx

Observem que quan a tendeix a 1 la quantitat a restar és major, per tant la utilitat esperada és també menor, la qual cosa correspon a un perfil conservador.

Si en el nostre cas suposem que existeixen tres estats de la naturalesa (temps sec, normal i plujós) amb probabilitats respectives d’ocurrència (un cop realitzats els estudis meteorològics-estadístics corresponents) del 20%, 50% i 30%, i una aversió al risc del 20%, es tindran les següents esperances matemàtiques per a cada cas:

        E(X1) = E(10) = 100 ´ 0’2 + 125 ´ 0’5 + 100 ´ 0’3 = 112’5 €
        E(X2) = E(15) = 95 ´ 0’2 + 150 ´ 0’5 + 150 ´ 0’3 = 139’0 €
        E(X3) = E(20) = 90 ´ 0’2 + 145 ´ 0’5 + 200 ´ 0’3 = 150’5 €

A continuació, per tal de solucionar aquestes limitacions, es construeixen les esmentades funcions d’utilitat del tipus:
U(Xi) = E(Xi) – a·V(Xi) , això és:  



U(X1) = 112’5 – 0’2= 110’0 €
U(X2) = 139’0 – 0’2= 134’6 €
U(X3) = 150’5 – 0’2= 142’8 €

Així doncs, s’escolliria també l’alternativa U(X3) = U(20), que és la més gran de totes, o sigui, la d’emmagatzemar 20 litres d’herbicida abans de l’hivern.

Vegem que, en definitiva, la gairebé totalitat dels criteris estudiats aconsellen de prendre, com a més aconsellable, la decisió que es deriva d’emmagatzemar 20 litres d’herbicida abans de l’hivern, raó per la qual serà aquesta l’alternativa escollida definitivament pel subjecte decisor.

1 La incertesa és l'estat de falta de seguretat sobre el coneixement, caracteritzat pel dubte. Pot ser objectiva (hi ha raons que impedeixen estar segur d'una afirmació o esdeveniments, sigui per manca d'informació, perquè encara no s'ha produït o altres) o subjectiva (malgrat les dades, l'individu no sap com actuar; usualment s'aplica a l'ètica). La incertesa sobre el rumb d'un afer porta al risc, prendre qualsevol decisió és arriscada perquè pot aparèixer l'atzar o un canvi de direcció no desitjat que alteri les condicions inicials previstes. Diversos models matemàtics miren d'analitzar la incertesa i limitar-la, per exemple per guiar la inversió en borsa. La incertesa ha motivat l'aparició de teories en epistemologia amb l'objectiu d'eradicar-la, com el mètode de R. Descartes (1596-1650).

2 Si dos esdeveniments o successos són mútuament excloents (incompatibles dos a dos, disjunts o d'intersecció buida 2-2),  llavors la probabilitat que poden tenir origen és:

Per exemple, la possibilitat de treure un 1 o un 2 en un dau de sis cares és:

P(A\mbox{ or }B) =  P(A \cup B)= P(A) + P(B).

Si els esdeveniments no són mútuament excloents llavors s’acompleix que: P(1\mbox{ or }2) = P(1) + P(2) = \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{3}.

Si els esdeveniments no són mútuament excloents llavors s’acompleix que:

\mathrm{P}\left(A \hbox{ or } B\right)=\mathrm{P}\left(A\right)+\mathrm{P}\left(B\right)-\mathrm{P}\left(A \mbox{ and } B\right).