EL SECTOR PRIMARI A LES TERRES DE L'EBRE

EL SECTOR PRIMARI A LES TERRES DE L'EBRE

Josep Maria Franquet Bernis (CV)
UNED

4. PROBLEMES DE FENÒMENS D’ESPERA

    • Introducció

En l’aplicació d’aquesta teoria podem considerar, com a exemple prou representatiu de la problemàtica a resoldre, el cas de l’arribada de vehicles agrícoles (tractors, furgonetes, etc.) al punt de servei de carburants d’una cooperativa agrícola, i es tracta de projectar i/o organitzar el servei de subministrament del carburant de la manera més eficient possible. Per això aplicarem al cas la Teoria de Cues, que és una coneguda tècnica de la Investigació Operativa, ja que l’arribada de clients és un fenomen d’espera.
         

    • Procés de Poisson

Considerem, per a major generalitat, que dites arribades de pagesos es produeixen tot seguint un procés poissonià. En efecte, donats uns canvis d’estat en el sistema, es dirà que segueixen els postulats de Poisson 1 si s’acompleix que:

  • Els successos que impliquen els canvis en intervals no solapats, són independents.
  • La probabilitat d’un nombre donat de canvis en un interval depèn de la mesura o longitud d’aquest interval:½          , i no de la seva situació:

½         ½            .
3-   
4-
Conseqüentment, caldrà analitzar-se, en cada cas, si realment l’experiència en qüestió s’adapta als postulats anteriorment expressats, i, acte seguit, procedir al seu estudi com a tal procés poissonià, en la forma que es descriu a continuació.
En estadística i simulació, un Procés de Poisson (també conegut com a "Llei dels successos rars") és un procés de successos independents on:

  • El nombre de successos en dos intervals independents sempre és independent.
  • La probabilitat de què un succés passi en un interval és proporcional a la longitud de l’interval.
  • La probabilitat de què passi més d’un succés en un interval suficientment petit resulta insignificant (no es produiran successos simultanis).

Per als processos homogenis hi ha una densitat mitjana λ. Això significa que la mitjana dels successos en un cert interval de temps t es λ/t. També existeixen processos de Poisson no homogenis.

El temps transcorregut entre dos successos d’un procés de Poisson amb intensitat mitjana λ és una variable aleatòria de distribució exponencial amb paràmetre λ.

Es poden modelar molts fenòmens com un procés de Poisson. El nombre de successos en un interval de temps donat és una variable aleatòria de distribució de Poisson, on λ és la mitjana de nombres de successos en aquest interval. El temps transcorregut fins que ocorri el succés número k en un procés de Poisson d’intensitat λ és una variable aleatòria amb distribució de probabilitat gamma o bé (allò que és el mateix) amb distribució d’Erlang2 , amb θ = 1/λ.

Imaginem-nos, ara, un sistema en un determinat estat en l’instant t, caracteritzant-se aquest estat per l’arribada d’un nombre k de clients, entre 0 i t. Tot plegat suposant que la probabilitat de passar de l’estat k al k + 1 entre t i t + dt es igual a l·dt, essent l constant i considerant menyspreable la probabilitat, per tractar-se d’un infinitèsim (o infinitesimal) d’ordre superior, de passar de l’estat k al k + 2.

Pot veure's, sobre aquest tema, l'esquema o figura següent:

                                                   k                    t    t+dt
                             ·         ´         ´         ´         |     |  
                              0                                                    Temps

FIG. 9.15. Arribada de clients a una estació de servei o sistema.
Tenint en compte l’anteriorment exposat, determinem ara la probabilitat que el sistema en qüestió es trobi en l’estat n en el moment t + dt.

Aquesta probabilitat és igual:

  • a la probabilitat que el sistema es trobi en l’estat n-1 en el moment t i que es produeixi una arribada de clients entre t i t + dt;
  • més la probabilitat que el sistema es trobi en l’estat n en el moment t i que no es produeixi cap arribada de clients entre t i t + dt.

Podem escriure:

o bé, fent les operacions pertinents:

La solució d’aquesta equació diferencial, que es pot resoldre com a lineal de primer ordre, és:
essent per a t = 1:que és l’expressió de la llei de Poisson.

La llei de Poisson defineix, doncs, un procés d’arribades de clients (per unitat de temps) que respon a les hipòtesis anteriorment especificades. La seva mitjana i la seva variància són les següents:


En la teoria de probabilitat i estadística, la distribució de Poisson és una distribució de probabilitat discreta. Expressa la probabilitat d’un nombre d’esdeveniments que ocorren en un temps fix si aquests esdeveniments ocorren amb una taxa mitjana coneguda, i són independents del temps des de l’últim esdeveniment.
La distribució de probabilitat de Poisson, que va publicar el seu autor, junt amb la seva teoria de la probabilitat, en l’any 1838 en el seu treball titulat Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (investigació sobre la probabilitat dels judicis en matèries criminals i civils), està donada per l’expressió següent:
f(k;\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!},\,\!
on:

e és la base del logaritme natural o neperià (e = 2’7182818284...),
k! és el factorial de k,
k és el nombre d’ocurrències d’un esdeveniment determinat,
λ és un nombre real positiu, equivalent al nombre esperat d’ocurrències durant un interval donat. Per exemple, si els esdeveniments ocorren de mitjana cada 4 minuts, i s’està interessat en el número d’esdeveniments que ocorren en un interval de 10 minuts, s’usaria com a model una distribució de Poisson amb: λ = 10/4 = 2’5.

Per exemple, si el 2% dels vehicles analitzats d’un cert col·lectiu (els socis de la cooperativa) tenen el sistema d’injecció del combustible defectuós, es desitja obtenir la probabilitat de què 5 de 400 individus (el 1’25%) d’aquest col·lectiu tinguin l’esmentat sistema de les seves màquines defectuós.
Solució:
\!k = 5,  \lambda = 400(0.02) = 8
\!P(5;8)= \frac{8^5e^{-8}}{5!}=0.092
O sigui, que la probabilitat buscada és del 9’2%. Si, altrament, com semblaria natural, es busqués la probabilitat de què aquesta injecció defectuosa la tinguessin 8 individus del mateix col·lectiu (el 2%), aquesta probabilitat, amb k = 8 i l = 8, seria pràcticament del 14%.

Certament, hi ha una qüestió que cal tenir en compte en tot moment quan se’ns planteja algun problema d’aquest tipus: la persona responsable de resoldre’l haurà de sospesar sempre el profit que la reducció de la cua d’espera suposaria per a ell (l’empresa) i per al client (o només per a aquest darrer) amb la despesa que es derivaria del fet d’incrementar la capacitat de servei.    

Doncs bé, la probabilitat de què l’interval que separa dos esdeveniments successius sigui superior a un determinat valor t, és igual a la probabilitat de què no es produeixi cap esdeveniment en l’interval t, per tant, és igual a: e-lt.
       
Si es designa per F(t) la funció de distribució de t, la probabilitat de què l’interval en qüestió sigui superior a t no és altra que: 1 – F(t).

En aquestes condicions:  resultant:

D’aquesta manera, en el marc d’un procés poissonià, la llei de probabilitat dels intervals que separen dos esdeveniments successius no és altra que la llei exponencial. La seva mitjana o esperança matemàtica i la seva variància són les següents:

En els fenòmens d’espera, la llei de Poisson descriu, sovint correctament, el procés d’arribada dels clients i la llei exponencial la distribució de les duracions del servei. En tal cas, la llei d’arribades ve definida pel nombre mitjà de les arribades per unitat de temps i la llei de les duracions del servei ho és per la taxa mitjana de servei (o inversa del temps mitjà que separa dos esdeveniments successius).

1 Siméon Denis Poisson (1781-1840), fou un físic i matemàtic francès que és conegut pels seus diferents treballs en el camp de l’electricitat; també va fer publicacions sobre la geometria diferencial i la teoria de les probabilitats. Les primeres memòries de Poisson sobre l’electricitat foren presentades en 1812, en què va intenta calcular matemàticament la distribució de les càrregues elèctriques sobre la superfície dels conductors, i en 1824, quan va demostrar que aquestes mateixes formulacions podien aplicar-se de la mateixa manera al magnetisme. El treball més important de Poisson fou una sèrie d’escrits sobre les integrals definides, i  quan tan sols tenia 18 anys, va escriure una memòria de diferències finites. Poisson ensenyava a l’escola Politècnica des de l’any 1802 fins al 1808, en què va arribar a ser un astrònom del Bureau des Longitudes. En el camp de l’astronomia va estar fonamentalment interessat en el moviment de la Lluna. En 1809 fou nominat com a professor de matemàtiques pures en la novament oberta facultat de ciències. En 1837 va publicar en Recherches sur la probabilité des jugements, un treball important en la probabilitat, en el qual descriu la probabilitat de com un esdeveniment fortuït, ocorregut en un temps o interval d’espai sota les condicions que la probabilitat d’ocurrència d’un esdeveniment és molt petita, però el nombre d’intents és molt gran; llavors, l’esdeveniment passa algunes vegades. Durant tota la seva vida va publicar entre 300 i 400 treballs matemàtics, incloent-hi aplicacions a l’electricitat, el magnetisme i l’astronomia.

2 En estadística i simulació, la distribució Erlang, també nomenada distribució d’Erlang, és una distribució de probabilitat continua amb dos paràmetres k i θ, i la seva funció de densitat, per a valors tals que x > 0 és la següent:

La distribució d’Erlang és l’equivalent de la distribució gamma amb el paràmetre "k = 1,2, ..., i λ = 1/θ. Per a k = 1 això és la distribució exponencial. S’utilitza la distribució d’Erlang per descriure el temps d’espera fins al succés número k en un procés de Poisson.