3.2. La teoria dels jocs d’estratègia
3.2.1. Joc sobre una taula rectangular
En un joc de dues persones (joc bipersonal de suma zero), la regla del joc sovint està resumida per una taula anomenada “matriu del joc” que expressa els guanys del jugador A, anomenat “jugador maximitzant” (o les pèrdues del jugador B, anomenat “jugador minimitzant”) si el joc és de suma nul·la, és a dir, si els guanys d’un són iguals a les pèrdues de l’altre. La matriu de guanys o pèrdues es pot representar així:
B (minimitzant)
A (maximitzant) a21 a22 ... a2n
... ... ... ... ... ...
am1 am2 ... amn
El joc pot comportar una jugada única o diverses jugades. Tota realització particular, conforme a la regla, és una partida.
Els objectius d’A i B són, respectivament: “guanyar el més possible i de perdre el menys possible, ignorant cada jugador la decisió del contrari”.
En una partida comportant una jugada única, es té l’hàbit d’anomenar estratègia pura a l’elecció d’una columna o d’una fila. En una partida comportant un gran número de jugades, s’anomenarà estratègia mixta d’A, l’elecció d’un cert número de files segons unes freqüències apropiades, el mateix que l’estratègia mixta de B representarà l’elecció d’un cert número de columnes segons unes freqüències apropiades. Veurem que, en certs casos, una estratègia mixta pot reduir-se a una estratègia pura, és a dir, a l’elecció d’una única fila o columna.
3.2.2. Elecció d’un criteri
Una estratègia, pura o mixta, no podrà ser elaborada fins després d’haver fet elecció d’un criteri tenint en compte l’actitud del jugador. Seguidament veiem els principals criteris utilitzats.
3.2.2.1. Jocs de dues persones
Criteri de Von Neumann o criteri de Wald (pessimisme).
Els jugadors A i B se suposa que són intel·ligents i prudents. En aquestes condicions, el jugador A elegirà la fila en la qual el seu guany més petit és màxim i el jugador B elegirà entre totes les columnes aquella en la qual la seva pèrdua més gran sigui mínima.
Així, A elegirà la fila corresponent a:
MAX [MIN aij] ∀i = 1, 2, ..., m,
i j ∀j = 1, 2, ..., n.
i B la columna corresponent a:
MIN [MAX aij] ∀i = 1, 2, ..., m,
j i ∀j = 1, 2, ..., n.
Aquest comportament és anomenat neumannià. Es veu que correspon a l’actitud d’un jugador que no corre cap risc1 .
El pagès gestor d’una explotació agropecuària s’enfronta a un llarg conjunt de riscs (meteorològics, malalties, preus de mercat, consecució de subvencions,...) contra els quals no pot assegurar-se. De fet, qualsevol empresa, com l’agrària, es caracteritza essencialment per ésser una acció àrdua que empren objectius amb risc. Doncs bé, aquí tractarem dels riscs no assegurables i veurem fins a quin punt el pagès pot confiar en la reflexió a l’hora d’assumir-los.
3.2.2.2. Jocs contra la naturalesa
En aplicació del criteri pessimista de Wald, la persona (pagès) que pren la decisió pensa que una vegada seleccionada una estratègia es presentarà l’estat de la natura més desfavorable i triarà l’estratègia que li doni la retribució més favorable entre les pitjors.
En aquest cas, ja no estem obligats a imaginar que la naturalesa prengui automàticament l’estat que ens serà més desfavorable, com suposa implícitament el criteri neumannià anteriorment exposat. Com es pot comprovar, els diversos criteris a aplicar, que s’assenyalen a continuació, poden suposar també eleccions diferents. A saber:
a) Criteri de Laplace2 o de raonament insuficient.
Els diferents estats possibles de la naturalesa, tot tenint probabilitats desconegudes, són considerats com a equiprobables. És a dir, davant de la ignorància de les probabilitats de cada cas, considera el decisor que els diferents estats de la natura tenen la mateixa probabilitat. És, doncs, l’únic criteri que mostra indiferència, ja que s’enfronta a la incertesa atorgant equiprobabilitat d’ocurrència a tots els possibles estats de la natura.
En aquestes condicions, el jugador elegirà la fila corresponent a:
és a dir: la fila per a la qual l’esperança matemàtica 3 o valor mitjà dels seus guanys és més gran. Es veu que la matriu del joc es redueix simplement a una matriu columna.
Si són conegudes les probabilitats dels diferents estats possibles de la naturalesa, s’utilitzarà igualment el criteri de l’esperança matemàtica màxima reduint la matriu del joc a una matriu columna.
b) Criteri de Hurwicz 4 o d’optimisme parcial.
L’optimisme del jugador pot ser definit per un número o paràmetre a comprès entre 0 i 1. Quan més proper a 1 s’estigui hi ha més dosi d’optimisme. Si Ai i ai són, respectivament, el més gran i el més petit dels elements d’una fila, s’elegirà llavors la fila corresponent a:
[a Ai + (1 – a) ai].
Un altre cop aquí la matriu del joc ha estat reduïda a una matriu columna per a la qual l’elecció és immediata.
c) Criteri de Savage o de pèrdua d’oportunitat.
Aquest criteri obliga a definir una nova matriu, de la qual cada element:
Aij = 
(akj – aij)
representa la desviació o discrepància entre el guany efectivament realitzat i el que hauria pogut ser obtingut (una mena de “cost d’oportunitat”5 ). Aquesta nova matriu s’anomena també “matriu de perjudicis o penediments” (“penes o lamentacions”).
El jugador A elegirà la fila corresponent a:
MIN [MAX Aij] ∀i = 1, 2, ..., m,
j i ∀j = 1, 2, ..., n.
és a dir, la fila per a la qual el risc més gran és mínim.
Els economistes francesos adopten generalment el criteri de Savage. És precís ressaltar, tanmateix, que el criteri de Savage s’utilitza per a jocs contra la naturalesa, ja que per a un joc de dues persones seria precís també definir dues matrius de perjudicis, una per a cadascun del jugadors, podent prendre la noció d’equilibri -que abordarem més endavant- un sentit completament diferent, deixant de ser el joc de suma nul·la.
d) Criteri del Maximax (optimisme).
Aquest criteri es basa en l’elecció del millor dels casos. Considera els punts de vista optimista i agressiu. Un decisor optimista creu que sempre obtindrà el millor resultat sense importar-li la decisió presa. Un decisor agressiu escull la decisió que li proporcionarà un major guany. Per trobar la decisió òptima es marca el màxim guany per a cadascuna de les alternatives de decisió i se selecciona la decisió que té el màxim dels guanys. Aquest criteri és l’únic que es fonamenta en el principi de què, un cop s’ha pres la decisió, la natura sempre afavoreix aquesta decisió, mostrant-se absolutament optimista i alegrant-se per allò que es guanya. Això comporta uns inconvenients, però, sobre els quals no ens estendrem aquí per òbvies raons d’espai.
e) Criteri d’Agrawal-Heady o del benefici.
Aquest criteri, com altres, es fonamenta en el principi que, un cop presa la decisió, la natura sempre s’oposarà a ella i, davant d’aquest fet, s’adopta la postura d’alegrar-se d’allò que es deixa de perdre.
3.2.3. Punt d’equilibri d’un joc rectangular
Tornem a contemplar un capteniment neumannià i considerem la matriu A = [aij]. Es demostra que, per a qualsevulla matriu A, es té:
MIN [MAX aij] ³ MAX [MIN aij]
j i i j
Quan la matriu A, és tal que:
MAX [MIN aij] = MIN [MAX aij] = n,
i j j i
es diu que el joc posseeix un punt d’equilibri o punt de cadira. La quantitat n és anomenada valor del joc.
El punt de cadira és el que representa el número més petit de la seva fila i el més gran de la seva columna, com es pot veure a la figura següent:
Notes: Cal tenir present que:
1) Una matriu pot posseir diversos punts de cadira.
2) Una matriu pot no tenir punt de cadira.
1 Risc és el mal potencial que pot sorgir per un procés present o esdeveniment futur, (i això es pot donar en qualsevol àmbit laboral i més en institucions d'assegurances, ja que en aquests llocs els clients poden utilitzar-la per a la comissió de delictes i així poder fer qualsevol tipus de frau). Diàriament de vegades se l'utilitza com a sinònim de probabilitat, però en l'assessorament professional de risc, el risc combina la probabilitat que ocorri un esdeveniment negatiu ponderat segons la gravetat del dany resultant de l'esmentat esdeveniment. És a dir, en paraules clares, el risc és la possibilitat que un perill pugui arribar a materialitzar-se.
2 Pierre-Simon Laplace (23 de març de 1749, Beaumont-en-Auge, Normandia - 5 de març de 1827, París), fou un brillant matemàtic, astrònom i físic francès. Ja amb 24 anys se l'anomenava "el Newton de França" per alguns dels seus descobriments. Laplace va desenvolupar igualment la teoria de la probabilitat en la Teoria analítica de les probabilitats, la introducció de la qual és intitulada Prova filosòfica sobre les probabilitats (1814: els seus primers treballs sobre probabilitat daten de 1771-1774. Es destacable el redescobriment, després de Bayes, de les probabilitats inverses (llei de Bayes-Laplace), avantpassat de l'estadística inferencial. Va ser el primer a publicar el valor de la integral de Gauss.
3 Dins la teoria de la probabilitat, l'esperança matemàtica (o esperança, o mitjana poblacional) d'una variable aleatòria discreta és la suma de la probabilitat de cada possible esdeveniment multiplicat pel valor de l'esmentat esdeveniment. En aquest sentit, l’esperança matemàtica d’un joc serà el producte de la probabilitat d’assolir-lo multiplicat pel premi (o càstig) de l’esmentada obtenció. Per tant, representa la quantitat mitjana que un "espera" com a resultat d'un experiment aleatori quan la probabilitat de cada esdeveniment es manté constant i l'experiment o prova es repeteix un elevat nombre de vegades. Val a dir que el valor que pren l'esperança matemàtica en alguns casos pot no ser "esperat" en el sentit més general de la paraula, ja que el valor de l'esperança pot ser improbable o fins i tot impossible. Una aplicació comú de l'esperança matemàtica és en les apostes o els jocs d'atzar.
4 Leonid Hurwicz (Moscou, 1917 - Minneapolis, 2008) és un economista nord-americà d'origen polonès guardonat amb el Premi Nobel d'Economia l'any 2007. Coneixedor de diversos camps de l'economia, entre ells l'economia del Benestar, el disseny de mecanismes, les institucions i l'economia pública i matemàtica, ha desenvolupat una investigació entorn de l'anàlisi de sistemes i tècniques de l'organització econòmica i l'aplicació de metes sobre la base de la teoria de jocs. L'any 1989 fou nomenat doctor honoris causa a la Facultat d'Econòmiques de la Universitat Autònoma de Barcelona, on va introduir a més el concepte de compatibilitat d'incentius, que al·ludeix a un procés en el qual tots els participants surten beneficiats quan revelen de forma honesta les informacions privades que se li sol·liciten. Pels seus estudis sobre el mecanisme òptim per a arribar al mateix temps a objectius diferents, com ara el benestar social i els guanys privats, fou guardonat amb el Premi Nobel d'Economia l'any 2007 juntament amb els economistes Eric Maskin i Roger Myerson, els quals van desenvolupar les seves teories en diversos camps de l'economia i de les Ciències Polítiques, en l'àmbit de la política social.
5 En economia, el cost d'oportunitat designa el cost de la inversió dels recursos disponibles, a una oportunitat econòmica, a costa de les inversions alternatives disponibles, o el valor de la millor opció no realitzada. Si ens referim a la gestió, el cost d'oportunitat d'una inversió és el cost de la no realització d'una inversió. Es mesura per la rendibilitat esperada dels fons invertits (o bé de l'assignació de la immobilització a d'altres utilitats, per exemple, el lloguer d'un terreny disponible). Aquest criteri és un dels utilitzats a les eleccions d'inversió. En principi, el rendiment és, com a mínim, igual al cost d'oportunitat. A les finances, es refereix a la rendibilitat que obtindria una inversió considerant el risc acceptat. Serveix per fer valoracions, contrastant el risc de les inversions o la immobilitat de l'actiu. A la macroeconomia, es tenen en compte els factors externs positius i negatius (externalitats), per tal d’establir el cost d'oportunitat complet. L'aplicació del concepte de cost d'oportunitat condueix a la recerca de tots els costos derivats de qualsevol decisió econòmica. La negligència d'aquest concepte ha conduït cap a sofismes econòmics, com ara el del cristall trencat, descrit per Frederic Bastiat.
Congresos
15 al 28 de febrero |
|
| Desafos de las empresas del siglo XXI | |
15 al 29 de marzo |
|
| La Educacin en el siglo XXI | |
Libro Gratis
 1647 - Investigaciones socioambientales, educativas y humansticas para el medio rural Por: Miguel ngel Smano Rentera y Ramn Rivera Espinosa. (Coordinadores) Este libro es producto del trabajo desarrollado por un grupo interdisciplinario de investigadores integrantes del Instituto de Investigaciones Socioambientales, Educativas y Humansticas para el Medio Rural (IISEHMER). Libro gratis |