ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS EN LA ESTADÍSTICA DE NIVEL UNIVERSITARIO

ALTERNATIVA METODOLÓGICA PARA EL DESARROLLO DE COMPETENCIAS EN LA ESTADÍSTICA DE NIVEL UNIVERSITARIO

Juan Carlos Ruiz Mendoza
Laura Josefina Martínez Flores

Universidad Autónoma de Nuevo León

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CAPÍTULO 2. EJEMPLIFICACIÓN DE LA ALTERNATIVA METODOLÓGICA.

En el (Anexo, 8), aparecen algunos ejemplos de cómo pueden trabajarse algunas competencias en la asignatura de Estadística 1. La alternativa metodológica se integra por un sistema de estrategias para el tratamiento de las diferentes competencias. Se infiere que el contenido en el (Anexo 8) sólo recoge los aspectos esenciales que constituyen el núcleo de la propuesta. Para la aplicación en toda su magnitud es imprescindible aplicar los aspectos que integran su estructura, sus fundamentos teóricos, las diferentes etapas con sus correspondientes recomendaciones.
Tomando en cuenta lo expresado, a continuación se presenta a modo de ejemplo una actividad docente en uno de los subtemas del tema “Densidades de probabilidad especiales”, del curso de Estadística I. La alternativa se aplicó en un grupo de 22 estudiantes de la Facultad de Ciencias Físico Matemáticas de la UANL.
La siguiente ejemplificación hará énfasis en la dinámica del proceso. Se presenta la manera en que la alternativa se concretó en el grupo, queda claro que las situaciones de aprendizaje pueden variar en correspondencia con las características del grupo, los estudiantes y las condiciones de la escuela y otros factores. Se proponen acciones a partir de los resultados de la presente investigación para concretar la concepción teórica y sus componentes que hacen viable la estrategia con vista a su perfeccionamiento:

2.1 Ejemplo de Aproximación Normal a la Distribución Binomial.
La distribución normal, dentro de las distribuciones continuas, y la binomial, dentro de las discretas, son muy importantes en Estadística ya que sirven de modelos teóricos en muchas aplicaciones de esta ciencia.
Definición. Se dice que una variable aleatoria discreta X tiene una distribución binomial si y sólo si su distribución de probabilidad está dada por
Definición. Se dice que una variable aleatoria continua X tiene una distribución normal si y sólo si su densidad de probabilidad está dada por
En el curso de Estadística I, después de haber estudiado de manera separada las distribuciones binomial y normal, se aplicó una prueba de diagnóstico (Anexo 3) para determinar las preconcepciones de los alumnos con respecto a estas distribuciones. A partir de los resultados obtenidos se observa que los alumnos tienen dificultades para establecer diferencias entre variables aleatorias discretas y continuas. (Pregunta 6, respuestas incorrectas 72.7%).
Una aproximación de la normal a la distribución binomial la establece el siguiente teorema:
Teorema de De Moivre-Laplace:
Sea X una variable aleatoria binomial con parámetros n y p. Entonces la variable aleatoria tiende a la normal estándar cuando n tiende a infinito.
De otra forma, el teorema afirma que X es asintóticamente normal con media np y varianza npq. Aunque estrictamente, este resultado es válido cuando n, frecuentemente se usa la distribución normal para aproximar probabilidades binomiales aun cuando n es relativamente pequeña. De acuerdo con (Freund, 2000) una buena regla empírica es usar esta aproximación sólo si np y n(1-p) son ambos mayores que 5.
Si X es una variable aleatoria continua P(X=c)=0, para cualquier número c, así que si queremos aproximar una probabilidad binomial mediante la normal, hay que realizar una corrección por continuidad.
En este punto, del presente trabajo se coincide con Alvarado (2004), quien señala que la comprensión de esta corrección es una de las mayores dificultades que presenta este tema. Se puede agregar que en la determinación de los valores adecuados de los parámetros de la distribución los alumnos también presentan dificultades.
En la clase tradicional, los alumnos sólo utilizan lápiz y papel, calculadora y tablas de probabilidad. Las actividades mostradas en el presente trabajo fueron diseñadas con el fin de desarrollar ciertas competencias en los alumnos que les permitan aplicar correctamente la “Aproximación normal a la distribución binomial” e incluyen el uso de la computadora. Estas actividades fueron realizadas en Excel y Cabri Plus II, por ser un software accesible y dinámico. Se dieron a los alumnos algunas instrucciones sencillas sobre estos paquetes. El interés principal con este recurso adicional los alumnos exploren, describan, justifiquen, interpreten, “descubran” resultados de manera visual (y eso los lleve a conjeturar o a proponer y a sentirse motivados por demostrar teóricamente las regularidades que observan). Por otra parte, para propiciar un aprendizaje colaborativo, se formaron equipos de 3 alumnos, los cuales fueron seleccionados de modo que en cada equipo hubiera alumnos que supieran manejar bien las TIC´s y otros que no tuvieran dificultad en las demostraciones teóricas. (El grupo estuvo formado por estudiantes de las licenciaturas de Matemáticas, Física, y Ciencias Computacionales).
Se espera que la realización de estas actividades ayude al estudiante en el desarrollo de las siguientes competencias:

  1. Expresarse correctamente utilizando terminología propia de la Estadística, en forma oral y escrita.
  2. Identificar la distribución que es aplicable en un problema dado.
  3. Usar y aplicar adecuadamente la tecnología a problemas probabilísticos o estadísticos.
  4. Conocer las herramientas estadísticas del Excel.
  5. Resolver correctamente problemas probabilísticos.
  6. Interpretar la solución cuantitativa encontrada, a través de la aportación y discusión de ideas, beneficiándose del trabajo en equipo.
  7. Reflexionar sobre las situaciones en las que es posible hacer una aproximación de una distribución discreta mediante una continua.
  8. Conjeturar la aproximación normal a la distribución binomial

Se plantea el siguiente problema de tipo cerrado, que los alumnos pueden resolver con los recursos disponibles y con la teoría vista en clases anteriores:
En cierta región las plagas dañaron la cosecha de nueces. Por esta razón, se estima que un 40% de la producción anual de nueces está en mal estado. Si se seleccionan al azar 6 nueces, ¿cuál es la probabilidad de que más de la mitad esté en mal estado?
Se les cuestiona a los estudiantes.

  1. ¿Cuál es la variable aleatoria de interés y de qué tipo, discreta o continua?
  2. ¿Qué distribución se aplica en este problema?.
  3. Resuelve el problema utilizando tablas de probabilidades.

El recurso que se utilizó: tablas de probabilidad y calculadora, que es el método tradicional.
Situación problémica.
Ejercicio. Se cambia un dato en el problema anterior. Los resultados de las respuestas a las preguntas aparecen en el (Anexo, 4).
En cierta región las plagas dañaron la cosecha de nueces. Por esta razón, se estima que un 40% de la producción anual de nueces está en mal estado. Si se seleccionan al azar 30 nueces, ¿cuál es la probabilidad de que más de la mitad esté en mal estado?

  1. ¿Cuál o cuáles de las respuestas del problema anterior cambian?
  2. ¿encontraste alguna dificultad para resolver el problema?
  3. Si tu respuesta a la pregunta anterior fue sí, ¿cuál fue la dificultad?
  4. ¿Pudiste resolver el problema planteado?
  5. ¿Cómo lo resolviste?

En este caso las tablas estadísticas con las que cuentan no es suficiente para resolver el problema, ya que n aparece sólo hasta 20, aunque este ejercicio siga siendo del mismo tipo que el anterior. Algunos alumnos lo resolvieron o plantearon la solución usando la fórmula de la distribución y calculadora, pero mencionaron que era demasiado largo y tardado resolverlo de esa manera. Otros opinaron que las probabilidades en los dos problemas eran iguales o no lo resolvieron.
Se hizo la siguiente pregunta: ¿se podrá utilizar otro recurso?
A partir de la siguiente actividad, se empezó a usar la computadora. Con herramientas estadísticas de Microsoft Excel y los alumnos obtuvieron probabilidades binomiales usando las herramientas estadísticas con las que cuenta este paquete. Haciendo variar los parámetros n y p de la distribución binomial obtuvieron las gráficas correspondientes a cada una de estas distribuciones. Los resultados obtenidos se muestran en el (Anexo 5). Un ejemplo de las gráficas obtenidas por los alumnos es la (figura 3).

2.1.1 Actividades con herramientas estadísticas en Excel
Encuentra probabilidades binomiales modificando los valores de los parámetros n y θ, traza diagramas de dispersión XY de los valores de la variable aleatoria x y las probabilidades correspondientes.
Dada la aplicación de Excel, se les cuestionó a los estudiantes:

  1. ¿Qué cambios observas en las gráficas?
  2. ¿Para cuáles valores de los parámetros n y θ la distribución binomial obtenida se va volviendo simétrica?

A partir de lo observado en las gráficas, ¿crees que se pueda “ajustar” alguna distribución a la distribución binomial en ciertas condiciones? Si tu respuesta a la pregunta anterior es sí, menciona cuál distribución.
La tabla de probabilidades siguiente, así como en la (figura 3) fue una de las obtenidas por los alumnos, utilizando las herramientas estadísticas de Excel.
Se espera que la práctica de las actividades anteriores ayude al alumno a:

  1. Usar y aplicar adecuadamente las herramientas estadísticas del Excel.
  2. Visualizar aspectos como la simetría y la relación de ésta con los parámetros n y p de la distribución binomial.
  3. Reflexionar sobre las situaciones en las que es posible hacer una aproximación de una distribución discreta mediante una distribución continua.
  4. Conjeturar la aproximación normal a la distribución binomial.

Después de la aplicación con el software del Excel, se proporcionaron a los alumnos dos archivos en Cabri (figuras 4 y 5). Estas gráficas fueron construidas por los autores del presente trabajo de manera general, es decir, si se modifican los valores de la media y desviación estándar en la distribución normal, o los valores de la probabilidad en el histograma, las gráficas varían. Las probabilidades que aparecen en el lado izquierdo de ambas gráficas las obtuvieron los alumnos en software Excel. Los resultados de la aplicación se muestran en el (anexo, 6)
La (figura 4) muestra una distribución binomial con n=30 y p=0.4. La (figura 5) muestra la distribución normal y un histograma de probabilidades binomiales con rectángulos de base 1, centrados en el punto x y altura igual a la probabilidad binomial, de manera que la probabilidad de que la variable aleatoria binomial X asuma el valor x, donde x=0,1,2,…n, sea igual al área del rectángulo. La (figura 6) fue obtenida por los alumnos a lo largo de las actividades realizadas.

2.1.2 Actividades con el software  Cabri II Plus

  1. Observa las gráficas (figura 4 y figura 5) de una distribución binomial con n=30 y p=0.4 y un histograma de probabilidades binomiales para esa distribución, respectivamente. Relaciona la probabilidad de que una variable aleatoria binomial asuma un valor x con el área del rectángulo sombreado en la figura. ¿Son iguales? Justifica.
  2. Usando la gráfica 3, modifica el valor de la media de la distribución normal. ¿Qué sucede con la gráfica?
  3. Usando la gráfica 3, modifica el valor de la desviación estándar de la distribución normal. ¿Qué sucede con la gráfica?
  4. Usando la gráfica 3, realiza cambios en ambos parámetros de la distribución normal, hasta que encuentres valores de la media y desviación estándar, para los cuales consideres que la distribución normal ofrece un buen ajuste a la distribución binomial. Anota los valores.
  5. Con cuáles fórmulas relacionarías los valores de la media y la desviación estándar de la distribución normal que mejor se aproxima a la distribución binomial?
  6. Resuelve el ejercicio modificado propuesto anteriormente, utilizando la aproximación normal a la distribución binomial. Interpreta.

Los resultados obtenidos en esta actividad se muestran en el Anexo 6.
Con las actividades realizadas con el software Cabri 11 Plus, se espera que el alumno:

  1. Relacione las probabilidades binomiales con el área del rectángulo correspondiente en la gráfica.
  2. Justifique la aproximación de una distribución continua por una distribución discreta.
  3. Aplique la corrección por continuidad adecuadamente.
  4. Reflexione acerca de cómo los parámetros media y desviación estándar determinan la localización y la forma de una distribución.
  5. Descubra de manera visual e intuitiva los valores de los parámetros de una distribución normal que mejor se ajusta a la distribución binomial.
  6. Relacione los valores de la media y la desviación estándar de la distribución binomial con los de la distribución normal ajustada.