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DINÁMICA DISCRETA

DINÁMICA DISCRETA

Henri Claude Thonon (CV)

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ANEXO II

TABLA DE LA TRANSFORMADA GEOMÉTRICA (O TRANSFORMADA Z)

A.- Propiedades

 

Función Discreta

 

Transformada Geométrica

1

yt
t=0,1,2,.........

Definición

Gy(z) = yo+y1∙z+y2∙z²+....
=

2

xt + yt 

Suma de dos funciones

Gx(z) + Gy(z)

3

a∙xt + b∙yt

Combinación lineal de
dos funciones

a∙Gx(z) + b∙Gy(z)

4

Convolución
(Producto de Cauchy)

Gx(z)∙Gy(z)

5

yt−k
k entero positivo

función retrasada

 

zk∙Gy(z)

6

yt+k
k entero positivo

función adelantada

z−k∙[Gy(z)−y0−y1∙z−....−yk−1∙zk−1]

7

t∙yt

 

z∙Gy'(z)

8

at∙yt

a constante

Gy(az)

9

(t+1)∙yt+1

 

Gy'(z)

10

y(t/k)

t = 0, k, 2k, ...

Gy(zk)

11

yt  – yt−1

 

(1−z)∙Gy(z)

12

yt+1  – yt

Diferencia

[(1−z)∙Gy(z)−y0]/z

13

 

Gy(z)/(1 − z)

14

Propiedad de la suma

Gy(1)

15

Propiedad de la suma alterna

 

Gy(−1)

16

y0

Propiedad del valor inicial

Gy(0)

17

y∞
si y∞ existe

Propiedad del valor final

B.- Funciones Comunes

 

Función Discreta

 

Transformada Geométrica

1

pulso unitario en el origen

1

2

pulso unitario en el punto m

zm

3

u(t) = 1

Escalón Unitario

1/(1 – z)

4

at
a constante

Sucesión geométrica

1/(1 – a∙z)

5

t∙at

a constante

a∙z/(1 – a∙z)²

6

at/t

a constante

−ln(1 – a∙z)

7

at/t!

a constante

Exp(a∙z)

8

(ln(a))t/t!

a constante

az

9

T

Rampa Unitaria

z/(1 – z)²

10

t²∙at

a constante

a∙z∙(1 – a∙z)/(1 – a∙z)3

11

t²

Rampa Parabólica Unitaria

z∙(1 – z)/(1 – z)3

12

(t + 1)∙at

a constante

1/(1 – a∙z)²

13

t + 1

 

1/(1 – z)²

14

½∙(t + 1)∙(t + 2)∙at

a constante

1/(1 – a∙z)3

15

½∙(t + 1)∙(t + 2)

 

1/(1 – z)3

16

(1/k!)∙(t+1)∙(t+2)∙∙∙∙(t+k)∙at
C(t+k, k)∙at

a constante

1/(1 – a∙z)k+1

17

(1/k! )∙(t+1)∙(t+2)∙∙∙∙(t+k)

 

1/(1 – z)k+1

18

C(m, t) ∙bt∙am−t

 

(a + b∙z)m

C- Funciones Matriciales

 

Función Discreta

 

Transformada Geométrica

1

Mt
t=0,1,2,.........

una función matricial

GM(z) = M0+M1∙z+M2∙z²+....
=

2

t∙Mt

 

3

At

A matriz constante

[I – A∙z]−1

4

t∙At

A matriz constante

z∙[I – A∙z]−1∙A∙[I – A∙z]−1

ANEXO III

ESTUDIO DE LAS MATRICES 2 X 2

          Sea A la matriz:

          Entonces su determinante (D) viene dado por:
D = ad ­­- bc
          Y la matriz inversa, si el determinante es distinto de cero,  por:

          Los autovalores vendrán dados por las raíces de la siguiente ecuación:
l 2 - (a + d) l + D = 0
          Si el determinante vale cero, entonces uno de los autovalores valdrá cero también y el otro a + d.
          Para que uno de los autovalores valga uno (1), es suficiente que la suma de cada columna o la suma de cada fila valga (1) también. La condición necesaria sería:
D = a + d - 1
          Mientras que para tener un autovalor de multiplicidad 2, la condición es:
4D = (a + d)2

          Para hallar At, se aplica la transformada z (Ver anexo I), y se obtiene:
[I – A∙z]−1
          Llamemos Dz el determinante de [I – A∙z], y se tiene entonces:
Dz = 1 - (a + d)z + Dz2
          Cuyas raíces, en el caso que D ≠ 0, ki serán los autovalores de D dividido D:
ki = li/D
          de lo contrario tendrá una sola raíz k = 1/(a + d).

          En el caso de dos raíces distintas
          la forma de [I – A∙z]−1 será:

          Factorizando:

Realizando las antitransformadas de cada coeficiente queda:

En el caso de dos raíces iguales (una raíz de multiplicidad 2)
          la forma de [I – A∙z]−1 será:

         
Reorganizando:

Realizando las antitransformadas de cada coeficiente queda:

En el caso del determinante igual a cero
(uno de los autovalores es nulo y el otro l = a + d)
          la forma de [I – A∙z]−1 será:

         
Realizando las antitransformadas de cada coeficiente queda:

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