Introducción a la teoría de juegos

La estrategia Maximín


juego de suma cero
estrategias
pago
matriz de pagos
punto de silla
solución estable
minimax
estrategias mixtas
teorema del minimax

Consideremos un juego de suma cero en el que lo que yo gano lo pierde el otro jugador. Cada jugador dispone de tres estrategias posibles a las que designaremos como A, B, y C (supongamos que son tres tarjetas con dichas letras impresas). Los premios o pagos consisten en la distribución de diez monedas que se repartirán según las estrategias elegidas por ambos jugadores y se muestran en la siguiente tabla llamada matriz de pagos. Mis ganancias, los pagos que puedo recibir, se muestran en verde, a la izquierda de cada casilla. Los pagos al otro jugador se muestran en rosa, a la derecha de cada casilla. Para cualquier combinación de estrategias, los pagos de ambos jugadores suman diez. 

MATRIZ DE PAGOS

Las estrategias
del otro jugador
A B C

Mi estrategia

A 9 | 1 1 | 9 2 | 8
B 6 | 4 5 | 5 4 | 6
C 7 | 3 8 | 2 3 | 7

Por ejemplo. Si yo juego la tarjeta C y el otro jugador elige su tarjeta B entonces yo recibiré ocho monedas y el otro jugador recibirá dos.

Éste es por tanto un juego de suma cero. Se llama juego de suma cero aquél en el que lo que gana un jugador es exactamente igual a lo que pierde o deja de ganar el otro. 

Para descubrir qué estrategia me conviene más vamos a analizar la matriz que indica mis pagos, la de fondo verde. Ignoro cuál es la estrategia (la tarjeta) que va a ser elegida por el otro jugador. Una forma de analizar el juego para tomar mi decisión consiste en mirar cuál es el mínimo resultado que puedo obtener con cada una de mis cartas. En la siguiente tabla se ha añadido una columna indicando mis resultados mínimos.

MATRIZ DE MIS PAGOS

La estrategia del otro jugador  
A B C mínimos

Mi estrategia

A 9 1 2 1
B 6 5 4 4
C 7 8 3 3

En efecto, 

De todos esos posibles resultados mínimos, el que prefiero es 4 ya que es el máximo de los mínimos. La estrategia MAXIMIN consiste en elegir la tarjeta B ya que esa estrategia me garantiza que, como mínimo, obtendré 4.

¿Podemos prever la estrategia del otro jugador? Supongamos que el otro jugador quiere elegir también su estrategia MAXIMIN. Mostramos ahora sólo los pagos asignados al otro jugador en los que destacamos el pago mínimo que puede obtener para cada una de sus estrategias. Subrayamos el máximo de los mínimos y su estrategia maximin.

MATRIZ DE PAGOS AL OTRO JUGADOR

La estrategia del otro jugador
A B C

Mi estrategia

A 1 9 8
B 4 5 6
C 3 2 7
mínimos 1 2 6

En efecto,

Su estrategia MAXIMIN consiste por tanto en jugar la carta C con lo que se garantiza que, al menos, obtendrá 6.

Éste es un juego con solución estable. Ninguno de los jugadores siente la tentación de cambiar de estrategia. Supongamos que se empieza a repetir el juego una y otra vez. Yo jugaré siempre mi estrategia maximin (B) y el otro jugará siempre su estrategia maximin (C). Cada uno sabe lo que jugará el otro la siguiente vez. Ninguno estará tentado de cambiar su estrategia ya que el que decida cambiar su estrategia perderá.

Se llama punto de silla al resultado en el que coinciden las estrategias maximin de ambos jugadores.

No todos los juegos tienen un punto de silla, una solución estable. La estabilidad del juego anterior desaparece simplemente trastocando el orden de las casillas BB y BC:

MATRIZ DE MIS PAGOS

MATRIZ DE PAGOS AL OTRO JUGADOR
La estrategia del otro jugador    La estrategia del otro jugador
A B C A B C

Mi estrategia

A 9 1 2 Mi estrategia A 1 9 8
B 6 4 5 B 4 6 5
C 7 8 3 C 3 2 7

En esta nueva tabla mi estrategia maximin sigue siendo la B y la estrategia maximin del otro jugador sigue siendo la C. Pero la solución ahora ya no es estable. Si jugamos repetidas veces y yo repito mi estrategia maximín, B, el otro estará tentado de cambiar su estrategia, pasando de la C a la B con lo que obtendrá un pago mayor, 6 en vez de 5.

Claro que si el otro empieza a elegir sistemáticamente la estrategia B yo preferiré cambiar mi estrategia a la C para así obtener 8. Entonces el querrá volver a su estrategia C y así sucesivamente.

Realice ahora estos
Ejercicios MAXIMÍN

Cuando se repiten juegos que no tienen solución estable interesa utilizar estrategias mixtas. Las estrategias mixtas consisten en asignar a cada una de las estrategias una probabilidad. En el juego que estamos analizando una estrategia mixta podría describirse de la forma siguiente: "Para elegir la tarjeta que voy a jugar lanzaré un dado. Si el dado muestra un 1, elegiré la tarjeta A; si el dado muestra un 2 o un 3, elegiré la tarjeta B; si el dado muestra un 4, un 5 o un 6, elegiré la tarjeta C". En otras palabras, elegiré la tarjeta A con una probabilidad de 1/6, la tarjeta B con una probabilidad de 1/3 y la tarjeta C con una probabilidad de 1/2.

El teorema del maximin afirma que en todo juego bipersonal de suma cero en el que sea posible jugar estrategias mixtas además de las puras, las estrategias maximin de cada jugador coincidirán siempre en una solución estable, un punto de silla. Este teorema fue demostrado matemáticamente por John von Neumann en un artículo publicado en 1928.


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