DIN�MICA DISCRETA

CAPÍTULO 4

ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE  ORDEN MAYOR A 1.

A.- Ecuaciones de 2do. Orden

I. Ecuaciones lineales a coeficientes constantes homogéneas:

               yt+2 + A1yt+1 + A2yt = 0

se puede escribir como:

               E²yt + A1Eyt + A2yt = 0

               (E² + A1E + A2)yt = 0

Por ser E un operador lineal:

               (E − m1)(E − m2)yt = 0

En donde m1 y m2 son las raíces de la ecuación  E² + A1E + A2 = 0

          Sea  zt = (E − m2)yt    e   zo = y1 − m2yo

entonces:     (E − m1)zt = 0

                                       zt+1 − m1zt = 0

entonces por la ecuación (e)  zt = zom1t

===>           (E − m2)yt  = zom1t

                                       yt+1 − m2yt = zom1t

                                       ∆yt +(1−m2)yt = zom1t

===>       yt = yom2t + m2t−1  

a) para m1≠m2

               yt = yom2t + zom2t−1                                               

                                                           (m2t − m1t)/m2t
                  = yom2t + (y1 − m2yo)m2t−1 --------------------
                                                            (m2 − m1)/m2

                                                      m2t − m1t
                  = yom2t + (y1 − m2yo) ---------------
                                                       m2 − m1

                     y1 − m1yo             m2yo − y1
                  = ------------- m2t + ------------- m1t
                      m2 − m1                m2 − m1

Esta solución también se puede escribir de la forma:

                    yt = C1m1t + C2m2t

de manera tal que si las raíces son complejas (m1 = a + bi, m2 = a − bi) esta se convierte en

                    yt = rt(C1cosθt + C2senθt)
 

en donde r = √ a² + b² , y  θ = arctg(b/a),

b) para m1 = m2 = m

               yt = yomt + zomt−1t

                  = yomt + (y1 − m yo)mt−1t

                  = mt[yo + (y1/m − yo)t]

                    Si se tiene la ecuación en diferencia:

               ∆²yt + B1∆yt + B2yt = 0

se pasa a una ecuación en desplazamiento:

               yt+2 − 2yt+1 + yt + B1yt+1 − B1yt + B2yt = 0

               yt+2 + (B1 − 2)yt+1 + (1 − B1 + B2)yt = 0

======>         A1 = B1 − 2
                        A2 = 1 − B1 + B2

Análisis de las soluciones de las ecuaciones anteriores

a) para m1 ≠ m2
1.-       -           Raíces reales
            -           mi = max {m1, m2} > 1
            -           mj = min {m1, m2}
            -           | mi | > | mj |
                        La solución será creciente o decreciente (dependiendo del signo de Ci) divergente, pudiendo ser al principio oscilatoria si mj < 0 o monótona de lo contrario:

2.-       -           Raíces reales
            -           mi = max {m1, m2} = 1
            -           0 < mj = min {m1, m2} < 1
                        La solución será monótonamente creciente o decreciente (dependiendo del signo de Cj) convergente al punto de atracción Ci.

3.-       -           Raíces reales
            -           0 < mi = max {m1, m2} < 1
            -           0 ≤ mj = min {m1, m2} < 1
                        La solución será monótonamente creciente o decreciente (dependiendo de los signos de Ci y Cj) convergente al punto de atracción 0.

4.-       -           Raíces reales
            -           −1 < mi = max {m1, m2} < 1
            -           −1 < mj = min {m1, m2} < 0
                        La solución será oscilante amortiguada convergente al punto de atracción 0.

5.-       -           Raíces reales
            -           mi = max {m1, m2} = 1
            -           −1 < mj = min {m1, m2} < 0
                        La solución será oscilatoria amortiguada convergente al punto de atracción Ci.

6.-       -           Raíces reales
            -           −1 < mi = max {m1, m2} < 1
            -           mj = min {m1, m2} = −1
                        La solución será oscilatoria tendiendo a tomar como valores Cj y −Cj.

7.-       -           Raíces reales
            -           mi = max {m1, m2}
            -           mj = min {m1, m2} < −1
            -           | mi | > | mj |
                        La solución será oscilatoria en forma de expansión explosiva.

8.-       -           Raíces complejas
            -           r > 1
                        La solución será oscilatoria en forma de expansión explosiva.

9.-       -           Raíces complejas
            -           r = 1
                        La solución será oscilatoria alternando los valores:
                                               (C1cosθt + C2senθt)

                

10-      -           Raíces complejas
            -           r < 1
                        La solución será oscilatoria amortiguada convergiendo al punto de atracción 0.

Nota:               Si en los casos anteriores una de las raíces es cero, se tiene realmente una ecuación de primer orden.

b) para m1 = m2 = m

1.-       -           m ≥ 1
                        La solución será monótona creciente o decreciente divergente.

2-        -           0 < m < 1
                        La solución será monótona creciente o decreciente convergiendo al punto de atracción 0.

3-        -          −1 < m < 0
                        La solución será oscilatoria amortiguada convergiendo al punto de atracción 0.

4-        -           m ≤ −1
                        La solución será oscilatoria en expansión explosiva.

II. Ecuaciones lineales a coeficientes constantes no homogéneas:

a) Variación de parámetros:

                                       yt+2 + A1yt+1 + A2yt = f(t)                                            (1)

          Haciendo:              yt = v1(t)u1(t) + v2(t)u2(t)                      (2)

en donde ui(t) = uit es la solución de la ecuación homogénea correspondiente.

con la condición:             u1t∆v1t + u2t∆v2t = 0                                             (3)

se tiene:                            ∆yt =  v1t+1 ∆u1t + v2t+1∆u2t                                                     (4)

          ∆²yt = v1t+1 ∆²u1t + ∆u1t+1∆v1t+1 + v2t+1∆²u2t + ∆u2t+1∆v2t+1            (5)

Sustituyendo (2), (4) y (5) queda en la ecuación (1), queda el siguiente sistema de ecuaciones:

               u1t∆v1t + u2t∆v2t = 0                                                                                                                                     (3)

               u1t +1∆v1t + u2t+1∆v2t = f(t)                                                                                                                                  (6)

Sea D el determinante, entonces D = u1tu2t+1 − u1t+1u2t

y:       ∆v1t = − f(t)u2t/D

          ∆v2t =   f(t)u1t/D

Ejemplo

          Sea f(t) = C

si m1 ≠ m2, entonces:

                                       D = (m1m2)t(m2−m1)c1c2

                                       ∆v1t = −C(1/m1) t/[c1(m2−m1)]

                                       ∆v2t =  C(1/m2) t/[c2 (m2−m1)]

                                       v1t = v1o − C(m1t−1) m1 / [(m2−m1)(m1−1)m1tc1]

                                       v2t = v2o + C(m2t−1) m2 / [(m2−m1)(m2−1)m2tc2]

     y1t = m1tv1oc1 − Cm1t / [(m2−m1)(m1−1)] + Cm1 / [(m2−m1)(m1−1)]

     y2t = m2tv2oc2 + Cm2t / [(m2−m1)(m2−1)] − Cm2 / [(m2−m1)(m2−1)]

por lo tanto:

                    yt = k1m1t + k2m2t + K

en donde K = C/(m1m2 − m1 − m2 + 1) =  C/(1 + A1 + A2)

Nota:
          Si una de las raíces toma el valor de 1, entonces:
1 + A1 + A2 = 0,
 y la solución particular sería yp = Ct/(2 + A1) = Ct/(1 − A2).
Mientras  que si las  dos raíces toman el valor de 1, entonces:
1 + A1 + A2 = 0, 2 + A1 = 1 − A2 = 0
 y la solución particular sería yp = Ct2/2.

Ejemplo

          Sea f(t) = C(1 + k)t

                    si m1 ≠ m2, entonces:

                    D = (m1m2)t(m1−m2)c1c2

                    ∆v1t = −C((1 + k)/m1) t/[c1(m2−m1)]

                    ∆v2t =  C((1 + k)/m2) t/[c2 (m2−m1)]

                    v1t = v1o − C(m1t−(1 + k) t) m1 / [(m2−m1)(m1−(1 + k))m1tc1]

                    v2t = v2o + C(m2t−(1 + k) t) m2 / [(m2−m1)(m2−(1 + k))m2tc2]

   y1t = m1tv1oc1 − Cm1tm1 / [(m2−m1)(m1−(1 + k))] + C(1 + k) tm1 / [(m2−m1)(m1−(1 + k))]

   y2t = m2tv2oc2 + Cm2t m2/ [(m2−m1)(m2−(1 + k))] − C(1 + k) tm2 / [(m2−m1)(m2−(1 + k))]

por lo tanto:

                    yt = k1m1t + k2m2t + K(1 + k) t

en donde K = C/(m1m2 − (m1 + m2) (1 + k)  + (1 + k)2) = 
                    = C/[A2 + A1 (1 + k) + (1 + k)2]

B.- Ecuaciones de Orden n > 2

I. Ecuaciones lineales a coeficientes constantes homogéneas:

                         yt+n + A1yt+n-1 +……….+ An-1yt+1 + Anyt = 0

se puede escribir como:

Enyt + A1En-1yt +………+ An-1Eyt + Anyt = 0

(En + A1En-1 +………+ An-1E + An)yt = 0

Por ser E un operador lineal:

(E − m1)(E − m2)…… (E − mn)yt = 0

En donde m1, m2, …., mn  son las raíces de la ecuación:

En + A1En-1 +………+ An-1E + An = 0

          Si las n raíces son diferentes la solución será:

                   

          Si la raíz es repetida n veces se tendrá como solución:

                   

          Mientras que si las raíces son complejas (en pares) se tendrá como componente de la solución:
                    rt(C1cosθt + C2senθt)

Ejercicio 4
          Resolver y describir el comportamiento de:

          yt+2 + A1yt+1 + A2yt = ct