EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE EN LA MATEMATICA DESDE UNA PROPUESTA METODOLOGICA

II.2.  PROPUESTA METODOLÓGICA  

La posibilidad de que el profesor aplique una propuesta metodológica que conlleve a que el sujeto se implique con más motivación en la misma, que no solamente manifieste problemas y necesidades, sino posibles soluciones garantiza un proceso de enseñanza aprendizaje con una mayor eficacia. La propuesta metodológica a la que arriba el autor, es producto de una sistematización a partir de los resultados que obtiene desde varias experiencias a través de las cuales se corrobora su viabilidad. Se define por el autor como propuesta metodológica para el proceso de  enseñanza aprendizaje de la Matemática, como; conjunto de fases  y acciones educativas que desde el cumplimiento de algunos principios y requisitos didácticos que favorecen la eficacia  del proceso de enseñanza de la Matemática, además de que contribuye al desarrollo de la personalidad.  Se  compone además de un conjunto de  recomendaciones  para la realización de los ejercicios por  los alumnos en las diferentes ramas de la matemática. Sus componentes son;
A. Objetivo general.
B. Principios pedagógicos a cumplimentar.
C. Fases y acciones por cada fase.
D. Requisitos didácticos a cumplir por los profesores para su aplicación.
E. Algunas recomendaciones  para la realización de los ejercicios por los alumnos en las diferentes ramas de la matemática.
F. Sistema de conocimientos para el curso con los profesores y estudiantes
 A continuación se describe cada uno de sus componentes.

     A.- Objetivo general.
Contribuir al fortalecimiento del aprendizaje de la matemática desde la enseñanza media básica en función de la preparación en esta ciencia para sus estudios en bachillerato y el nivel superior.
           B- Principios pedagógicos a cumplimentar.
Las acciones que se generan a partir de la aplicación de la propuesta metodológica, facilitarán a los profesores el cumplimiento de estos principios en el proceso de enseñanza – aprendizaje de la matemática.
En la literatura pedagógica no existe un consenso definitivo en cuanto a la denominación de estos principios, por lo que coexisten diversos sistemas, basta citar los elaborados por L. Klingberg (1977) y las cubanas Guillermina Labarrere  y  Gladys Valdivia (1986) y Fátima Addine ( 1998), entre otros.
Se asume por el autor por considerarlos más completos y que se aviene de forma más certera con el propósito del autor los planteados por la pedagoga cubana,  Dra. Fátima Addine.
En la literatura se refleja como los principios del proceso pedagógico devienen en normas y procesos de acción que fundamentan pedagógicamente el proceso de educación de la personalidad. Significa entender que los principios cumplen una  función lógica y gnoseológica cuando sirven de instrumento lógico para explicar, organizar y fundamentar la búsqueda de conocimientos, como tener  en cuenta que cumplen la función metodológica de esclarecer una estrategia ulterior de conocimientos para alcanzar determinados fines. Esto significa entender  los principios  como reguladores del proceso pedagógico. Entre los  principios de la Dra. Fátima Addine,  que asume el autor están:
           1- Vinculación de la educación con la vida, el medio social y el trabajo de   educación  de  la personalidad.
          2- Unidad de lo instructivo, lo educativo y lo desarrollador.
          3- Unidad de lo afectivo y lo cognoscitivo en el proceso de formación de  la            personalidad... implica  la necesidad de que la educación se construya  a partir de  las condiciones  económicas, políticas y sociales en que vive el sujeto. Esto significa que las nuevas generaciones no solamente se apropien de un sistema de conocimientos, sino que puedan aplicarlo en un futuro  al convertirse en productores dentro de la sociedad.
          La vinculación con la vida se garantizará en la medida en que se relacionen todas  las actividades y ejercicios que realicen los alumnos con los elementos de la realidad contextual en la que viven, cuando busquen soluciones  que podrán vincular con la vida. Para ello es necesario ubicar al alumno como protagonista fundamental del proceso pedagógico. 
La unidad de lo instructivo, lo educativo  y lo desarrollador, que se fundamenta en la unidad  en la actividad del profesor de la instrucción con la educación.  De esto se infiere que al impartir los contenidos matemáticos se utilicen métodos productivos que posibiliten desarrollar hábitos, habilidades y capacidades de forma tal que formen convicciones y un pensamiento flexible que le facilite la  autotransformación y la de su entorno.
Esto permite una orientación activo - transformadora  y no pasivo- descriptiva de la personalidad. Este principio puede cumplimentarse  con la vinculación de los elementos teóricos y la realidad donde vive el sujeto para  hacerlo reflexionar acerca de cómo es posible la  transformación cualitativa de esa realidad.
El principio de la unidad de lo afectivo y lo cognoscitivo  se sustenta en que los profesores asuman la tarea de contribuir a desarrollar los procesos cognoscitivos, las capacidades y habilidades y que contribuyan a desarrollar las motivaciones, convicciones y  voluntad, entre otros elementos afectivos. De esta forma el conocimiento teórico adquiere un significado diferente, que garantiza la  vinculación de lo motivacional afectivo y lo cognoscitivo instrumental, lo que promueve  una actuación más eficaz  de su personalidad.
Significa asumir que estos principios  deben servir de fundamento a todas las acciones que se emprendan. Asumir estos principios al instrumentar la aplicación de la propuesta metodológica garantiza la eficacia del proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática por los alumnos implicados.
C- Fases y acciones por cada fase.
Fase 1.
 Sensibilización de los implicados.
Objetivo. Contribuir a la sensibilización para que los implicados logren familiarizarse con la tarea que van asumir  desde el objetivo del curso.
En las reuniones previstas con cada uno de los implicados se pondrán videos de los resultados ya obtenidos con la aplicación de la propuesta metodológica en otras ocasiones para poder sensibilizar más a los implicados. Además de algunas entrevistas realizadas a algunos estudiantes participantes. 
Acciones.

• Reunión con los padres.

La sensibilización de los padres ante esta tarea es sumamente importante. Permite que haya una mejor comprensión y compromiso para que sus hijos e hijas  logren una mayor motivación para emprenderlo.

•  Reunión con los alumnos.

Con esta reunión se pretende promover una mayor motivación hacia el objetivo previsto por los alumnos que participarán. Se permite lograr con esto un conocimiento previo de lo que realizarán y la importancia que tiene su participación.

•   Reunión con los profesores de matemática que serán promotores del curso.

Permite esta reunión que los profesores conozcan cuña es su rol en el curso y la forma diferente en que trabajarán. Una mayor sensibilización de los profesores garantiza un mayor compromiso ante la tarea que realizarán.
Fase 2.
Preparación de los profesores que impartirán el curso.
Objetivo: Preparar a los profesores en contenido y formas didácticas de asumir el curso.
En esta fase se harán tantas sesiones según sea necesario en función de que los profesores queden bien preparados tanto en los requisitos didácticos a cumplir por los profesores para la aplicación de la propuesta metodológica como en  algunas recomendaciones para la realización de los ejercicios por los estudiantes en las diferentes ramas de la matemática.
Las sesiones se establecerán según sean los resultados que se obtengan de la preparación inicial que tienen los profesores para este empeño. Para eso es importante conocer el dominio que tiene de la matemática los profesores que se prepararán.
El dominio de los contenidos por parte de los profesores se establece desde la realización de algunos ejercicios que se utilizarán desde las diferentes ramas de la matemática en estas sesiones. No es necesario que se someta a los profesores a ningún test o prueba para comprobar sus conocimientos, esto redundaría en una desmotivación de los profesores hacia el curso.
Se harán sesiones de contenidos según sea necesario y  como mínimo tres sesiones de trabajo para  que los profesores lleguen a dominar la manera de actuar ante los alumnos desde esta propuesta metodológica. Se debe establecer un consenso de los ejercicios posibles y en la forma de actuar similar de los profesores.
Es de obligatoriedad en cada sesión de la preparación de los profesores no solamente trabajar contenidos sino también la preparación pedagógica y didáctica, Por tanto cada sesión debe tener  el objetivo previsto y el sistema de conocimientos a impartir así como la preparación en  principios y requisitos a cumplimentar en cada tipo de ejercicio.
Cada sesión que posteriormente prepare cada profesor para los alumnos debe contemplar todos los componentes del proceso pedagógico; objetivo, contenidos, métodos a utilizar, forma de organizar la docencia  y  medios a utilizar.
Al final de las sesiones que se realicen se determinan cuáles son los profesores que están preparados para aplicar la propuesta metodológica.
Fase 3.  
Curso  para los estudiantes.
Objetivo. Ejecutar el curso con los alumnos.
Las sesiones del curso están en dependencia del diagnóstico inicial de los alumnos.
Acciones.

• Diagnóstico inicial.

Este diagnóstico se realizará a través de:

• Entrevista individual del porqué se interesa por el curso y qué conoce de los contenidos  que conforman el curso desde su autopercepción.
• Es necesario una prueba de entrada y una prueba de salida de los  conocimientos básicos del curso para poder establecer una comparación de entrada y salida y comprobar el proceso de aprendizaje en los alumnos.
• Ejecución de las sesiones del curso con los alumnos.

En estas sesiones se deben cumplimentar todos los requisitos y recomendaciones que  se tienen en cuenta en la propuesta metodológica.
Cada sesión debe tener.

• Introducción.

Donde se conozca la situación actual de los alumnos, preocupaciones, se revisa la tarea y se conversa con los alumnos acerca de sus avances. Se introduce el contenido a tratar.

• Desarrollo.

El profesor explica los contenidos a tratar y se introducen los ejercicios a tratar. Se le da prioridad a las dificultades que puedan tener para realizarlos. Se comprueban los resultados.

• Conclusiones.

Se orienta tarea si fuera necesario y se comenta con los alumnos cómo se sintieron en el aprendizaje en esa sesión.

• Diagnóstico final.

    Se aplicará una prueba de salida que tenga los mismos requerimientos de la prueba de entrada. Se comparan los resultados con la prueba de entrada. Esto permite un conocimiento desde lo académico de los resultados obtenidos.
   Unido a estos resultados se debe argumentar por parte de cada profesor cómo ha sido la conducta de los alumnos en el curso y se debe establecer desde una reflexión grupal qué ha aprendido en cuanto a sistema de conocimientos se refiere, cada uno de los participantes pero además, cómo lo ha preparado para la vida y su futuro profesional el curso.
El resultado de la comparación de las pruebas de entrada y salida, así como los que se recoge de la reflexión grupal y la observación diaria de los profesores a los alumnos en las diferentes sesiones permite arribar al diagnóstico final en cada alumno donde se deben recoger las potencialidades y fortalezas alcanzadas por cada uno de ellos, así como sus debilidades tanto en  la personalidad como en los conocimientos matemáticos.
Cada alumno debe reconocer sus resultados y tratar de trazarse metas para erradicar las debilidades.
D- Requisitos didácticos para la aplicación de la propuesta metodológica.
Estos requisitos parten de la experiencia del autor en la aplicación de la propuesta metodológica y en su conocimiento didáctico para la enseñanza de la matemática. Su cumplimiento cabal permite un mejor aprendizaje en los alumnos, un mayor compromiso y permanencia en el curso.
Con algunos ajustes, se considera que los requisitos siguientes se pueden aplicar muy bien en el aula escolar.

• Es imprescindible que el  profesor tenga un dominio amplio de lo que está enseñando; de preferencia con conocimientos matemáticos mucho más avanzados del nivel en el que se encuentra enseñando.
• Se hace necesario y obligatorio que tanto el maestro de matemática y sobre todo sus alumnos tengan el libro de texto para uso personal, así como contar con libros de consulta; sin el uso de éste, los resultados que se obtengan serán muy por debajo del que se puede lograr; ya que desde la primera hora de iniciado el curso, empleando esta metodología, el alumno debe empezar a resolver problemas contenidos en su libro, comparando el resultado por él obtenido con el que proporciona el autor. Si al iniciar el curso no se cuenta con el libro de texto, el profesor debe suplir a éste con problemas elaborados por él mismo.
• Es necesario hablar a los alumnos los grandes avances en la ciencia y la tecnología que ha proporcionado la ciencia matemática a la humanidad; el objetivo del aprendizaje de esta ciencia y los grandes beneficios que ellos obtendrán en la vida al aprender lo que usted desea que ellos aprendan.
• Emocionalmente transmita a sus alumnos el deseo que tiene en que ellos aprendan, y que capten ese deseo; esto es fundamental. Un profesor que no siente alegría por enseñar, jamás originará en sus alumnos alegría por aprender.
• No se admiten los insultos y castigos a sus alumnos; no desesperarse si tienen dificultades para comprender algo; nunca ridiculizarlos. Tenga presente que no todos tienen la misma habilidad; sin embargo, todos la pueden desarrollar; el aprendizaje es cuestión de práctica y tiempo. Nunca los humille, haciéndolos sentir seres inferiores y usted el sabio por ser el profesor. Nunca diga que el diez es del autor del libro, el nueve del profesor y el resto del alumno; no sea jactancioso. Sea humilde en el trato con ellos. Recuerde que usted está en esto por propio gusto o interés.
• Mantenga una comunicación constante con sus padres. Si tiene algún estudiante  con problemas de indisciplina, platique con los padres de ellos; si persiste ésta, sepárelo del grupo pero nunca lastimarlos. 
• Dedique algunos minutos de la clase para platicar con sus alumnos sobre cosas para ellos interesantes; juegue y bromee con ellos, pero siempre con respeto, no sea muy insistente en esto; si es posible, a las alumnas hábleles de usted. No los trate como niños o adolescentes, sin embargo comprenda bien la edad en que se encuentran; parece ser que les agrada que se les hable como adultos. Hábleles con cariño, pero sin fastidiarlos.
• Diga a sus alumnos que para el aprendizaje, así como el desarrollo de habilidades y destrezas de la matemática se requiere mucho tiempo. Que resolver un problema probablemente se requiera de sólo unos minutos, pero también en ocasiones se requerirá de algunas horas o tal vez días; pero que eso es lo que las hace interesantes y divertidas.
• Si sus alumnos son adolescentes que por primera vez se inician en el estudio del álgebra, probablemente a pocos días o semanas de iniciado el curso sientan mareos, confusión y tal vez olvido de lo ya aprendido. No se preocupe, eso es temporal; pasado este estado, ya no se vuelve a presentar.
• Los alumnos sólo usarán cuaderno, de preferencia de cuadrícula, lápiz, borrador; al iniciar no es necesaria aún la calculadora científica. Se necesitará hasta cuando se vean los logaritmos o la Trigonometría.
•  A los alumnos no los pase al pizarrón a resolver problemas. Todo el trabajo es totalmente práctico, él siempre lo realizará en su mesa banco.
•  No es necesario que sus alumnos memoricen los teoremas, axiomas, leyes, etc. relacionados con el tema en estudio; y menos que en la resolución de un problema que el profesor realice y explique en el pizarrón lo relacione con las diversas leyes matemáticas implicadas en el mismo. Sin embargo, sí es necesario definir algunas cosas como qué es una base, un exponente, un radical, factores, etc. Hacer que los alumnos memoricen leyes, axiomas, teoremas, etc, y los relacionen en la resolución de problemas, es hacerles su aprendizaje tedioso y cansado. El autor de esta propuesta metodológica, a un grupo de alumnos de nivel secundaria que en un año y medio aprendieron hasta el cálculo integral, el final del curso reviso sus cuadernos de notas y sólo había dos definiciones, el Teorema de Pitágoras y la definición de derivada (cálculo diferencial); las apuntaron porque ellos lo quisieron y no porque el instructor se las haya dictado.
•  En el pizarrón el profesor debe resolver y explicar varios problemas de ejemplo del tema en estudio y dejarlos en él, no borrarlos; tampoco que los alumnos pierdan tiempo en copiarlos, no tiene caso perder tiempo en eso, no los estudiaran posteriormente.
•  Utilizando su libro, seleccione problemas semejantes a los desarrollados en el pizarrón y pida a sus alumnos que los resuelvan, utilizando como guía los desarrollados en el pizarrón. De preferencia pida que resuelvan aquellos problemas cuyo resultado lo proporciona el autor para que el resultado por ellos obtenido lo comparen con el del libro; si no coincide, entonces pídales que lo analicen para localizar el error cometido, hasta que lo obtengan; si aún así no lo obtienen, entonces intervenga usted para ayudarlos o por último resolvérselos.  
•  Cuando sus alumnos ya hayan resuelto los problemas semejantes a los escritos en el pizarrón; borre éste y resuelva y explique detalladamente más problemas con un mayor grado de dificultad; no los borre ni que sus alumnos los copien; repita lo descrito en el párrafo anterior.
•  Los problemas por resolver que proporcionan lo libros, generalmente siempre están ordenados de tal manera que el grado de dificultad va aumentando; esto es para que los conocimientos que se vayan adquiriendo, sean aplicados en la resolución de los problemas más difíciles. Cuando sus alumnos ya hayan resuelto los problemas cuyo resultado proporciona el autor del libro, entonces pídales que escojan y resuelvan aquellos problemas sin el resultado incluido.
•  Cuando usted realice problemas en el pizarrón, sea siempre ordenado en el desarrollo del mismo; pida a sus alumnos que lo imiten. Sea ordenado hasta para borrar el pizarrón.
•  Si en la resolución de un problema en el pizarrón que sea ejemplo del tema en estudio, sus alumnos no lo comprenden; inténtelo mediante otras alternativas; sea habilidoso y creativo.
•  En todo momento, en base al orden o disciplina existente en su grupo de alumnos, en el aula usted va a decidir cuándo y cómo permitirá a sus alumnos intercambiar ideas y conocimientos. 
•  Durante la enseñanza del álgebra, en determinados momentos de la misma,  suprima algunos pasos en la resolución de algunos problemas; tal vez lo comprendan, si es así, esto los motivara mucho.  
•  Tenga presente que la matemática no se aprende a la primera y para siempre. Sus estudiantes aprenderán algo “bien” -sobre todo en el álgebra- y tiempo después lo habrán olvidado, esto es natural que suceda; no se desanime ni desespere, es más fácil recordar que aprender algo nuevo. La experiencia de autor es que el álgebra básica de uso frecuente la aprenden muy bien definitivamente hasta el cálculo diferencial.
•  En etapas avanzadas del álgebra, cuando a manera de ejemplo, resuelva un problema en el pizarrón, no hable mencionando lo que está haciendo, proceda lentamente en el desarrollo del problema; con las manos y dedos haga señalamientos para expresar lo que esté realizando. Voltee a observar las caras de sus alumnos para ver en ellas si lo están comprendiendo; si no lo entienden, repítalo o inténtelo de otra manera.
•  En el estudio del álgebra, cuando trate el tema de la resolución y gráfica de un par  ecuaciones lineales con dos incógnitas, emplee conocimientos de geometría analítica tales como, identificación de rectas paralelas o mentalmente calcular las intersecciones de las rectas con los ejes X e Y, para ellos esto es de mucha motivación.
•  Cuando enseñe a despejar en fórmulas; haga y que el alumno aprenda a suprimir pasos y que al final lo realice en uno y mentalmente.
•  Con el fin de incrementar el desarrollo de habilidades, destrezas y creatividad, siempre que se hagan gráficas, no permita que los alumnos utilicen material de dibujo; las gráficas o figuras que tengan que hacer, lo realicen manualmente o usando materiales u objetos que tengan o estén a su alcance.   
•  Cuando en el pizarrón resuelva problemas de ejemplo, si comete un error u omisión y se da cuenta de ello; no lo corrija, mejor diga a sus alumnos (si es que ellos aún no han visto) que usted cometió un error y que sean ellos los que lo localicen.
•  Cuando alguno de sus alumnos le haga una buena pregunta, buena aportación sobre el tema o localizado un error por usted cometido; felicítelo resalte ante el grupo esa aportación, pero no caiga en la adulación. Es muy positivo estimularlos.
•  Para usted no debe ser suficiente que sus alumnos resuelvan algunos problemas de un determinado tema y considerar que ya lo dominan bien. Es necesario resolver docenas de ellos, pues existe una gran diversidad de los mismos. Aunque ya hayan resuelto gran cantidad de problemas sobre un tema, muy probablemente lo hayan olvidado si después de muchos días no han tratado algo relacionado con lo mismo. Recuerde, El buen aprendizaje de la matemática es: práctica, práctica y más práctica. 
•  El alumno obtiene un buen aprendizaje cuando resuelve problemas con alto grado de dificultad del tema en estudio y lo sabe relacionar con lo nuevo. Nunca se quede en lo sencillo; exigir el máximo de los alumnos, ellos pueden dar mucho más de lo que usted se imagina, pero hay que ser cauteloso. Solicíteles que resuelvan siempre hasta los últimos problemas propuestos o por resolver del tema en estudio.
•  La resolución de los problemas siempre será de lo muy fácil a lo muy difícil. Nunca quedarse en lo fácil; se aprende resolviendo lo difícil. Pero tenga precaución, pudiera ser que los problemas difíciles tengan algo que ellos desconocen porque aún no ha sido tratado.
•  Siempre que sea posible y necesario, enseñe a sus alumnos a comprobar los resultados por ellos obtenidos.
•  Al iniciar el estudio del álgebra, siempre que el tema en estudio lo permita, comience con ejemplos de problemas que contengan sólo números.
•  Si el libro de texto en uso, a su juicio no tiene los suficientes problemas para satisfacer el aprendizaje de sus alumnos, consulte otros libros o invéntelos.
•  Ayude a sus alumnos a que realicen actividades de gimnasia mental. Enséñelos y que aprendan hacer mentalmente sumas, restas, divisiones y multiplicaciones.
•  Experimente cuando sus alumnos pueden iniciar poco a poco a aprender solos algunos temas.
•  Si sus alumnos están concentrados resolviendo problemas, siempre que sea posible, no los interrumpa; en ocasiones se molestan cuando se los interrumpe.
•  En ocasiones los alumnos manifiestan cansancio en el aprendizaje. Nunca se les debe exigir más; se les puede hablar de otros temas o invitarlos a resolver ciertos juegos matemáticos preparados de antemano.
•  En trigonometría, siempre que sea posible, resuelva problemas aplicados a la vida real. Si usted tiene conocimientos de física, aplique la matemática en la resolución de problemas que considere que sus alumnos pueden comprender y resolver.
•  En trigonometría, siempre que sea posible, realice las deducciones de las formulas que use.
•  En trigonometría existen algunos problemas que tienen varias maneras de solucionar; usted resuelva de una manera, de preferencia la más complicada y pida a sus alumnos que encuentren las demás; si es necesario ayúdelos orientándolos a encontrarlas. Más adelante se señalarán algunos de estos problemas.
•   No se sorprenda que muy probablemente en el estudio de la trigonometría y geometría analítica, sus alumnos hayan olvidado algunos procedimientos algebraicos; no se moleste, recuérdeselos.
•  En etapas avanzadas de su estudio, pida a sus alumnos que lean y relean en su libro el tema a tratar y después solicíteles que analicen los problemas resueltos; a continuación que ellos resuelvan los problemas propuestos, tomando como guía los resueltos en el libro. Que analicen un problema (el más fácil) de los resueltos en el libro y después que resuelvan de los propuestos por el autor y que sean semejantes al analizado. Luego que analicen el siguiente problema resuelto y que resuelvan los semejantes; que continúen así con los siguientes. Para realizar lo anterior se recomienda que los problemas que se resuelvan, sean aquellos cuyos resultados están incluidos en el libro, para que el alumno haga la comparación correspondiente y corrección si es necesaria; después resolver los que no incluyen el resultado. Durante el desarrollo de esta actividad el profesor deberá auxiliar a los alumnos aclarando dudas. Probablemente todos o la mayoría de sus alumnos coincidan en no poder resolver un determinado problema, explique la manera de resolverlo o resuélvalo usted; si esto se presenta frecuentemente en un determinado tema, muy probablemente se deba que aún no están preparados para abordarlo, porque faltan conocimientos previos; se sugiere que el profesor explore y determine que conocimientos faltan y los trate de inmediato o también tratar otro tema que se considere con menor grado de dificultad; después regrese e intente nuevamente con el tema en dificultad. ¡Cuidado!, también pude ser que si el alumno no interpreta algo se deba a fallas en el profesor; recuerde que la enseñanza de la matemática es cuestión de habilidad y creatividad. En etapas avanzadas el alumno puede aprender solo.
•  De preferencia, los problemas a tratar en clase, no los resuelva antes en cubículo o en casa, sino únicamente en el aula. Esto es muy importante ya que al desarrollarlo así, tendrá que analizar, hacer planteamientos, buscar alternativas de solución, hacer figuras y gráficas (de preferencia a mano sin auxilio de material de dibujo), solicitar opiniones de los alumnos, etc.; lo anterior enriquecerá la capacidad de razonamiento de ellos. Probablemente cometa errores u omisiones, pero eso contribuye de igual forma al desarrollo del razonamiento ya que se volverán a hacer nuevos planteamientos, alternativas de solución, etc. No apenarse si no encuentra la solución al problema; pida a sus alumnos que lo analicen en sus casas y que en la próxima sesión se volverá a discutir; en casa o cubículo analícelo bien y resuélvalo usted, después explíquelo; no sin antes haber preguntado quién encontró la solución.
•  No es necesario que haga dosificación de los temas, muy probablemente se equivoque en el tiempo que asigne a cada uno.

Si los conocimientos matemáticos del profesor son deficientes, ninguna metodología que use proporcionará un buen aprendizaje en sus alumnos. El profesor que tenga muy buenos conocimientos matemáticos, fácilmente podrá aplicar esta metodología; y por tal motivo, podrá usar cualquier libro de texto que a su juicio contenga lo que él impartirá o podrá inventar problemas en el momento que sea necesario. Tal vez tampoco requerirá ver y analizar los ejercicios matemáticos que se describen posteriormente.
E- Algunas recomendaciones para la realización de los ejercicios por los estudiantes en las diferentes ramas de la Matemática.
Para aplicar eficazmente estas recomendaciones didácticas en el proceso de enseñanza - aprendizaje, es necesario que el profesor o instructor tenga un dominio amplio de lo que está enseñando; de preferencia con conocimientos mucho más avanzados. Para que haya una buena enseñanza-aprendizaje de la matemática se requiere que el profesor tenga habilidad, creatividad e ingenio; si no hay una buena preparación del profesor, ninguna metodología será eficaz o el aprendizaje será muy por debajo de lo esperado; si el alumno no entiende de una manera, el profesor debe de disponer de otras alternativas; es necesario transmitir seguridad a sus alumnos, para que tenga confianza en que todas sus preguntas serán respondidas satisfactoriamente; si el alumno recibe de su profesor inseguridad en la enseñanza, casi seguro que se bloqueará su aprendizaje. Es necesario que el profesor provoque y logre que sus alumnos lo admiren, desarrollar su autoestima, alegría por descubrir y construir; todo esto originará una mente receptiva y fértil. Una buena metodología es muy importante para el buen aprendizaje, pero también las buenas actitudes que tenga el alumno por aprender; la escuela y los profesores podrán contribuir mucho a la formación y desarrollo de éstas.
Cuando se desarrolló esta metodología de enseñanza-aprendizaje, fue con grupos pequeños, donde no se aplicaban exámenes, no se tomaba lista de asistencia, no se prohibía llegar tarde ni salir antes del tiempo de salida, no se elaboraban reportes y citatorios a los padres, jamás se encargaron tareas y nunca se pasó  a un alumno a resolver problemas en el pizarrón, tampoco se revisaron sus cuadernos; todo su trabajo fue siempre en el mesa banco; actualmente se continua haciendo esto. Se considera que con algunas precauciones producto de la reflexión, estudio y experimentación, esta metodología se puede ajustar muy bien a las condiciones en el aula del alumno escolarizado, aumentando significativamente su aprendizaje.
          F.- Sistema de conocimientos para el curso con los profesores y para los estudiantes.
A nivel mundial existen muchas causas por las que se presenta el problema del rechazo y no aprendizaje de la matemática. Sin embargo, y así lo han manifestado en diversos eventos educativos nacionales y mundiales; una de las causas fundamentales es el bajo nivel de conocimientos matemáticos de gran cantidad de profesores y no sólo de un país en especial.
Por lo anterior, es imprescindible que en México se realice una intensa y permanente capacitación de los profesores de matemática, principalmente de quienes se encuentran en  educación media básica y bachillerato. En estos niveles educativos existen buenos profesores, pero es necesario que lo sean todos. Para que el profesor de matemática se desempeñe eficientemente en su enseñanza, es necesario que tenga un nivel de conocimientos superior al del nivel en que se encuentra enseñando. Por lo tanto la buena capacitación deberá ser impartida por profesores de matemática de nivel más avanzado, en este caso se encuentran en las instituciones de educación superior.
La capacitación no debe ser sólo en la ampliación de los conocimientos matemáticos, sino también en la enseñanza de metodologías que faciliten y motiven en los estudiantes el aprendizaje de esta hermosa ciencia.
Jamás se mejorará educación superior, si antes no se mejora académicamente al alumno que acude a ella a estudiar una carrera.
La propuesta metodológica que aquí se menciona ha dado excelentes resultados, pero estos han sido obtenidos en grupos pequeños y con alumnos que tienen el deseo de aprender matemática; obviamente, junto a estos adolescentes hay padres responsables y muy comprometidos con la educación de sus hijos. Ha sido imposible experimentar con grupos de alumnos heterogéneos de escuelas públicas o privadas.
Por lo que se describe más adelante en el apartado “comentarios del autor”, es muy probable que el buen aprendizaje de la matemática también se presente en grupos escolarizados, aunque no con los resultados hasta hoy obtenidos; pero esto quedará sólo en “muy probable” por la desarticulación que existe entre las autoridades de los diversos niveles educativos, donde cada quien es dueño de su territorio y jamás permitirán la realización de una experimentación investigación. Lo mismo sucedería con la capacitación de los profesores.