Concepto : Interpolar significa encontrar un valor intermedio entre dos o mas puntos base conocidos, los cuales se pueden aproximar mediante polinomios.
Sea en el sistema de coordenadas de la grafica anterior, las ecuaciones F(x) y G(x) en cuyo espacio “a”, “b” se pueden interpolar determinados valores.
Tipos de interpolación
1. interpolación con espacios equidistantes
2. interpolación con espacios no equidistantes
INTERPOLACIÓN CON ESPACIOS EQUIDISTANTES O INTERPOLACION DE NEWTON
• DIFERENCIAS PROGRESIVAS : Son llamadas diferencias hacia delante y se definen como :
o primeras diferencias : ΔYi = Yi+1 - Yi i=0,1,2,3...n (1)
o segundas diferencias : Δ 2Yi = Δ Yi+1 - Δ Yi i=0,1,2,3...n (2)
o terceras diferencias : Δ 3Yi = Δ 2Yi+1 - Δ 2Yi i=0,1,2,3...n (3)
o k- écimas diferencias Δ kYi = Δ kk-1Yi+1 - Δ k-1Yi i=0,1,2,3...n (4)
k=0,1,2,3...n
donde :
Δ es el operador de diferencias progresivas
Para i=0 en la ecuación (1)
ΔY0 = Y1 – Y0 Y1 = Y0 + ΔY0 (5)
Para i=1 en la ecuación (1)
ΔY1 = Y2 – Y1 Y2 = Y1 + ΔY1 (6)
Para i=0 en la ecuación (2)
Δ 2Y0 = Δ Y1 – Δ Y0 Δ Y1 = Δ 2Y0 + ΔY0 (7)
Sustituyendo las ecuaciones (7) y (5) en (6)
Y2 = Y1 + ΔY1
Y2 = (Y0 + ΔY0) + (Δ 2Y0 + ΔY0)
Y2 = Y0 + 2ΔY0 + Δ 2Y0 (8)
De las ecuaciones (5) y (8)
Y1 = Y0 + ΔY0 sacando factor comun Y0 tenemos : Y1 = (1 + Δ)1Y0
Y2 = Y0 + 2ΔY0 + Δ 2Y0 sacando factor comun Y0 tenemos : Y2 = (1 + Δ)2Y0
Entonces para Y3
Y3= (1 + Δ)3Y0 (9)
Generalizando, tendremos :
Yk=(1 + Δ)kY0 (10)
El Segundo miembro de la ecuación (10) corresponde al Binomio de Newton
Elevado al exponente “k”, el cual puede desarrollarse del siguiente modo:
Yk = Y0 + ΔY0 + Δ 2Y0 + ..... + Δ kY0 (11)
Para : K= 1,2,3, ...n
Yk = Y0 + ΔY0 + Δ 2Y0 + .... Δ kY0+ 0 (12)
Para : K= 1,2,3, ...n
Si se toma un valor “j” cualquiera menor que “k” y si las j-esimas diferencias son constantes, entonces todas las diferencias de orden superior a “j” serán cero, por lo que la ecuación (11) queda :
= =
donde :
es un polinomio en K de grado “j” de la forma :
yk = a 0 + a1k + a22k2 + ..... .+ ajkj (14)
Si consideramos la función tabular con espaciamiento “h”constante
X Y
X0 Y0
X1=X0+h Y1
X2=X0+2h Y2
... ...
Xk=X0+kh YK
Xn=X0+nh Yn
Donde :
X1-X0 = h
X2-X0 =2h
................
XK-X0 = Kh
Xn-X0 = nh
Donde queda la expresión: K =
Sustituyendo (15) en (14)
Yk = b 0 + b1x + b2x2 + ..... .+ bjxj
Se llama Polinomio de Newton con espaciamiento constante
Ejercicio 01
En base a la función tabular que se muestra, preparar la tabla de diferencias:
X Y
0 -5
1 1
2 9
3 25
4 55
5 105
Solución
las primeras diferencias son :
Δ1Y0 = Y1-Y0 = 1-(-5) = 6
Δ1Y1 = Y2-Y1 = 9 - 1 = 8
Δ1Y2= Y3-Y2 = 25- 9 =16
Δ1Y3= Y4-Y3 = 55-25 =30
Δ1Y4 = Y5-Y4 = 105-55 =50
las segundas diferencias son :
Δ2Y0 = ΔY1- ΔY0 = 8 - 6 = 2
Δ2Y1 = ΔY2- ΔY1 = 16 - 8 = 8
Δ2Y2= Δ Y3- Δ Y2 = 30 - 16 =14
Δ2Y3= Δ Y4- Δ Y3 = 50 -30 =20
las terceras diferencias son :
Δ3Y0 = Δ 2Y1- Δ 2Y0 = 8 - 2 = 6
Δ3Y1 = Δ 2Y2- Δ 2Y1 = 14 - 8 = 6
Δ3Y2= Δ 2Y3 - Δ 2 Y2 = 20 - 14 = 6
Queda entonces la tabla de resultados:
X Y Δ1Y Δ2Y Δ3Y
0 -5
1 1 6
2 9 8 2
3 25 16 8 6
4 55 30 14 6
5 105 50 20 6
Por ser Δ3Y constante, corresponde a un polinomio de tercer grado y es un polinomio exacto
En la ecuación (12)
Yk = Y0 + Δ 1Y0 + Δ 2Y0 + .... Δ kY0+ 0
Si hacemos J=1, entonces tendremos el polinomio de primer grado que se aproxima a f(x)
Yk = Y0 + ΔY0
Siendo :
K =
Tendremos :
Yk = Y0 + ( )ΔY0
Que corresponde a un polinomio de primer grado
Ejercicio 02
De la tabla del ejercicio 01, hallar la función explicita, teniendo como condiciones iniciales: X0 =1, Y0=1
solución
K =
Como por dato tenemos X0=1, siendo los valores de X constantes, entonces h=1
Δ1Y0=8, Δ2Y0=8, Δ3Y0=6
K =
Quedando :
K = x - 1
Reemplazando en la ecuación general :
Yk = Y0 + Δ 1Y0 + Δ 2Y0 + .... Δ kY0+ 0
Yk = Y0 + Δ 1Y0 + Δ 2Y0 + Δ 3Y0
Reemplazando en la ecuación anterior:
Δ1Y0=8, Δ2Y0=8, Δ3Y0=6
Yk = Y0 + 8 + 8 + 6
Conociendo por formula de permutaciones:
=
=
=
Yk = 1 + *8 + *8 + *6
Y = 1+(x-1)*8 + (x-1)(x-2)*4 + (x-1)(x-2)(x-3)*1
Simplificando queda :
Y = X3 – 2X2 + 7 X - 5 SOLUCION PEDIDA