RENTABILIDAD Y RIESGO DE UN PORTAFOLIO DE RENTA VARIABLE DE LA BOLSA ESPAÑOLA

DISEÑO METODOLÓGICO PARA LA MEDICIÓN DEL RIESGO Y LA RENTABILIDAD DE LOS PORTAFOLIOS DE ACCIONES DEL IBEX-35

  INVESTIGACIÓN

Este estudio posee un enfoque descriptivo en la medida que su desarrollo está ligado a mencionar los aspectos y características fundamentales del riesgo y la rentabilidad de los distintos portafolios de acciones del Ibex-35 que se han establecido.

HIPÓTESIS DE ESTUDIO

• Se espera que la rentabilidad de portafolios conformados por activos con betas mayores sea mayor a la rentabilidad de portafolios conformados por activos con betas menores.
• La beta del portafolio está directamente relacionada con el riesgo, por lo tanto a mayor beta mayor riesgo asumido.
• Entre más grande sean las rentabilidades individuales de los activos que conforman el portafolio, mayor será la rentabilidad del portafolio.
• Entre más grande sea la beta del portafolio respecto al mercado, mayor será el ratio de Sharpe.
• Las correlaciones entre los activos que conforman el portafolio no están relacionadas con el tamaño de sus betas individuales.

SIMPLIFICACIONES

• Mercado eficiente
• Volatilidad constante
• Normalidad
• Individuos racionales, preferencia por mayor rendimiento o mínimo riesgo
• Tiempo de estudio 3 meses
• Acciones de la bolsa española
• Tasa libre de riesgo bono español a 10 años
• Beta de las acciones último dato del mes de abril
• Rendimiento de la cartera o activo medido a través de esperanza matemática
• No hay venta en corto

  OBTENCIÓN DE LA FRONTERA EFICIENTE DE LOS PORTAFOLIOS

Para poder desarrollar el modelo de Markowitz se necesitara encontrar:

• La esperanza o media de los rendimientos de los n activos que integraran el portafolio.
• las varianzas correspondientes a los rendimientos de los n activos.
• Las covarianzas de los rendimientos de todos los activos que se encuentren en el portafolio.

La tasa esperada de rendimiento del portafolio viene dada por:
Donde: E(rp)= Tasa esperada de rendimiento del portafolio
            wi= Ponderación que el activo i tiene en el portafolio
            E(rp)= Tasa esperada de rendimiento del activo i
Sujeto a: 

• No se permite la venta en corto de los activos, por lo que wi  0 para todo i=(1,2..n)

La varianza del portafolio será:
Donde  es la covarianza de los rendimientos entre los activos, que también se puede escribir como   en donde es el coeficiente de correlación de los rendimientos entre los activos
Si  los rendimientos se mueven en el mismo sentido y de manera proporcional, por lo que hay correlación positiva perfecta.
Si  los rendimientos de los activos no tienen relación alguna porque se mueven de manera independiente.
Si los rendimientos se mueven en sentidos opuestos, de tal manera que los movimientos ascendentes de uno se compensan con los movimientos descendentes del otro, por lo que tienen correlación negativa perfecta. 

Al seguir este procedimiento, se encontraran distintas combinaciones de activos, que arrojaran X% de rendimiento a Y% de riesgo, dando lugar a un conjunto de carteras o portafolios eficientes que al graficarlas dará lugar a la frontera eficiente, en donde se encontraran todas los portafolios que proporcionaran el mayor rendimiento a un riesgo mínimo. En la frontera eficiente se encuentran todos los portafolios eficientes que se constituyen a través de activos de activos con riesgo, en nuestro caso de acciones del índice IBEX 35. Todas estas carteras en teoría serán semejantes, es decir que un inversor dependiendo del nivel de aversión al riesgo será indiferente a situarse sobre cualquier punto de la frontera A o B (no sería racional si se situara sobre el punto C, ya que B genera más rendimiento al mismo nivel de riesgo).
En resumen, el aspecto más importante del trabajo de Markowitz fue mostrar que no es el riesgo de un activo lo que debe importar al inversor sino la contribución que dicho activo hace al riesgo de la cartera, ya que el riesgo del portafolio dependerá de la covarianza de los activos que lo componen mas no de riesgo individual de cada activo. 1, 2 , 3

  PROCEDIMIENTO PRÁCTICO

Se ha escogido todas las empresas del Ibex-35 ordenándolas de menor a mayor Beta y se han creado portafolios de 5 acciones, obteniendo así  siete grupos. Se ha añadido un octavo grupo que contiene, de forma aleatoria, un activo financiero de cada uno de los siete grupos anteriormente nombrados

PROCEDIMIENTO
En este apartado se detalla paso a paso el procedimiento que se ha seguido para determinar la frontera eficiente de las ocho carteras de acciones estudiadas.
Para el siguiente procedimiento se utilizan los datos de la cartera del grupo 1.
Tal y como se ha descrito anteriormente se utilizan los retornos diarios para los meses de Febrero, Marzo y Abril del 2015. Para calcular los retornos se necesitan los precios de cierre de dichas acciones para dichos meses. Estos son encontrados en la página https://es.finance.yahoo.com, en el apartado de datos históricos.
Una vez encontrados los precios se crea una tabla en Excel con las acciones y sus respectivos precios a cada fecha.
Después se construye una tabla con las rentabilidades diarias de cada acción. Para calcular la rentabilidad diaria se utiliza la siguiente fórmula.
Una vez obtenida la matriz de rentabilidades, se calcula la rentabilidad, varianza y variación estándar (riesgo) de cada empresa.
Seguidamente se calcula la matriz de varianzas y covarianzas. Para hacerlo se utiliza la función VAR() para calcular la varianza y la función COVARIANZA.M() para calcular la covarianza de todos los pares de activos.
Una vez se tienen todos los datos necesarios se procede a calcular el portafolio de mínima varianza. Primero de todo se construye la siguiente matriz:
En ésta, se ven el nombre de los 5 activos, sus rentabilidades medias para el periodo de análisis, 9 columnas de ponderaciones, que representarán 9 puntos en la frontera eficiente, y 4 celdas: Objetivo, la rentabilidad media, la varianza y el riesgo para cada uno de estos portafolios.
Para calcular el portafolio de mínima varianza y los otros puntos de la frontera eficiente se deben definir las fórmulas que obtendrán la rentabilidad, varianza y riesgo de los portafolios. La rentabilidad media de un portafolio se puede definir como:

Donde  wt es la matriz transpuesta de ponderaciones. En Excel, la fórmula para devolver el producto matricial entre dos matrices es MMULT().
Para calcular la varianza se utiliza la siguiente formula ya descrita en el apartado teórico:
Finalmente, el riesgo, medido como la desviación estándar del portafolio, se calcula simplemente como la raíz de la varianza.
A continuación se muestran las fórmulas matriciales que permiten obtener los resultados pedidos.
Una vez escritas las fórmulas se calcula el portafolio de mínima varianza mediante el Solver del Excel. En “establecer objetivo” se selecciona la celda de la fórmula de la varianza y donde dice “Para” se selecciona min, ya que se quiere minimizar la varianza.
En “Cambiando las celdas”, se debe seleccionar las celdas de ponderaciones Mínima varianza, que están junto a las celdas de retornos promedio de cada acción.
Seguidamente, en la parte que dice “sujeto a restricción”, se pulsa “agregar” y se impone que la celda suma todas las ponderaciones sea igual a 1.

A continuación, para poder graficar la frontera eficiente se encuentran ocho puntos más de esta. Para ello, se dan valores por encima y por debajo de la rentabilidad del portafolio de mínima varianza para poder captar la parte cóncava y convexa de la frontera eficiente. El valor mínimo de éstos es mayor o igual a la rentabilidad del activo que tiene la menor rentabilidad promedio (en este caso 0,0444%, correspondiente al activo 1), y el valor máximo no puede ser mayor a 0,3908%, la mayor rentabilidad entregada por un activo. Así pues, se dan valores aleatorios entre [0,0444%, 0,3908%]. Después se sigue exactamente el mismo procedimiento descrito para la obtención del portafolio de mínima varianza pero añadiendo una otra restricción: la rentabilidad del portafolio tiene que ser igual a la rentabilidad exigida.