Análisis fractal de las empresas mexicanas cotizadas en la BMV y las empresas europeas cotizadas en la BM

María de Jesús Ramos Escamilla1
William Fernando Valdivia Altamirano2

Resumen
El objetivo del trabajo es crear un índice bursátil que permita la cotización a priori de las empresas que cotizan en México y en Madrid respecto de las relaciones económicas entre ambos continentes el Americano y el Europeo la metodología es con técnicas de pivoteo y masas fractales, los principales resultados son la aceptación testeada probabilísticamente del modelo en ambas bolsas de valores, esperamos obtener los resultados en el escenario ex post.

Palabras clave: Fractal, precios, recursividad.

Hay distintas dimensiones fractales, la más sencilla es la Dimensión de Auto similitud [Lei, T: 1990]: d = Log (N) / Log (M) → Md= N; donde M es el número de partes en las cuales el objeto será dividido, d es la dimensión del objeto y N el número de partes resultantes.

                                                                                                                     (1)
Partiendo de que d = Log (pN) / Log (pN), en la medida que el radio es menor, mayor será el número de círculos necesarios o partes (n), de donde n = 1/r. De  ahí que d = Log (N) / Log (1/z). En vez de contar las partes auto similares resultantes (N) se contará el número de círculos N (z); de donde la dimensión de capacidad es el valor de Log N (z) / Log (1/z) cuando r tiende a 0 [Braun E: 1994].
                                                                                                                       (2)

                                                                                (3)                                    


                                                 (4)                                                         

                                   (5)
Sensibilidad a las condiciones iniciales: arbitrariamente cerca de cada punto x, hay un punto y con f n (x) y f n (y) la iteración lejos [Batten, J. Ellis, C: 1996]:i) Puntos periódicos: arbitrariamente cerca de cada punto x, hay un punto y con f m (y) = y para algún m, ii) Mezcla: para cada par de intervalos I y J, para algunos k f k (J) y se superponen.


                                                                (6)

Para que exista una señal aperiódica de los precios, la posibilidad de maximización la deberá representar por una Serie de Armónica o de Fourier, debe respetar las condiciones de Dirichlet3 : i) Que tenga un número finito de discontinuidades en el periodo T, en caso de ser discontinua; ii) El valor medio en el periodo T, sea finito y iii) Que tenga un número finito de máximos positivos y negativos.

3. Emisión de teneduría con acotamiento fractal.
Los coeficientes de Precios que buscamos son  los rangos (precio Ex Post – precio Ex Ante) y dividirlos entre el número de empresas que tenemos en nuestro caso son 35 emisoras.
..

Mediante esta herramienta que permita al el acercamiento al estudio del acotamiento fractal a la realización de práctica del mercado bursátil respecto de sus precios.
Procedemos de manera análoga al caso p = 1, pero cambiando convenientemente el Volumen de Operación de cada acción y así seguir con la maximización de utilidad.
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                                                                                               (7)      
Nosotros obtuvimos el  cambio de precios (dado que la distribución acumulativa obedece a una ley cúbica inversa, la función de distribución de probabilidad, por diferenciación)  y obedece a una ley cuártica (de cuarto momento) inversa [Aho, A.V.; Hopcroft, J.E.; Ullman, J.D: 1974]. 
  ,


                                                                                 (8)                                
Esto significa que no hay una escala característica para la difusión de precios, debido a que si se está difundiendo alrededor de un medio con el límite de acotamiento que por sí mismo está cambiando (como el universo económico en el que vivimos), entonces las leyes de la difusión cambian y, en particular, adoptan una forma de escala libre.



                                           (9)
El algoritmo de un Fractal es la trama de los valores de la órbita en orden [Ahn, H-K.; Cheng, S-W.; Cheong, O.; Golin, M.; Oostrum, R: 2001].  

                                                         (10)            

4. El camino de la recursividad, opción de escenarios multifractales.
Todos los sistemas complejos reales generalmente exhiben invarianza de escala [Cheong, O.; Har-Peled, S.; Linial, N.; Matousùek, J: 2002], es decir, su comportamiento no cambia por el re escalado de las variables que gobiernan su dinámica de los precios del mercado:
 

                                                 (13)
               El camino estocástico del precio se vuelve inestable, aquí es donde los multifractales superan a la representación euclidiana informal, no lineales, siendo apta para representar precios sobre de las acciones.

                                                                (14)                                        
Acotando el límite en k (0) [Fama, Eugene: 1964]:

            El camino de la recursividad total quedaría simulado así:


(15)
Respecto del acotamiento de sus límites en el rango de los precios, obtenemos:

Representación de recursividad finita al equilibro browniano de operación bursátil:



Representación de recursividad finita al margen de operación bursátil:



||


Representación de recursividad infinita al costo de operación bursátil:



La esencia de la recursividad es la "retroalimentación". El punto de partida es una información del Mercado de Capitales, se procesa y se obtiene una indexación.
5. Delta del mercado bursátil.
Si tenemos un precio y se elige modelarlo con logaritmos y se amplifica con un factor de escalamiento delta, se observa una geometría idéntica al rango de precios (precio máximo-precio mínimo)4 . 

Esta operación se puede repetir indefinidamente .
(16)
              Obtenemos el límite del ln:
                                                                    (17)                            
Y finalmente el hamiltoniano para asignar a cada punto del atractor, un código semi-infinito, lo cual a su vez puede facilitar la caracterización de ciertos criterios de aniquilación  fractal del precio de mercado.

6. Conclusiones.
En su segmento acotado por la modelación fractal de los rangos de precios obtuvimos que el  Mercado en Madrid con respecto del mundo (es decir los mercados financieros autosimilares).
Por la denominada crisis de deuda soberana ha acentuado los riesgos de liquidez y solvencia de las entidades bancarias del área euro, ya debilitadas por cuatro años de dificultades y en medio de una profunda desconfianza por parte de los inversores, ha precipitado medidas de recapitalización generalizada de entidades bancarias por ende financieras, sírvase esta opción como un instrumento de análisis del mercado de capitales español.
Anexo 1.Mercado de Capitales de Madrid-IBEX-35.

7. Bibliografía.
Ahn, H-K.; Cheng, S-W.; Cheong, O.; Golin, M.; Oostrum, R.:
Competitive facility location along a highway”, Proc. 7th Annu. Int.

Conf. (COCOON 2001), Lectures Notes Comput. Sci.(2108):237-246, 2001.

Aho, A.V.; Hopcroft, J.E.; Ullman, J.D.: “The Design and Analysis of Computer
Algorithms”, Addison Wesley, 1974.

Barnsley, M. (1993). Fractals Everywhere. San Diego. Academic Press.
Batten, J. Ellis, C. (1996). Fractal Structures and Trading Systems. World Economy Review.
1(1):76-79.

Bouchaud, J. & Poters, M. (2008). The leverage effect in financial markets: retarded volatility
and market panic. Physica.5(1):236-254.

Braun E. (1994). Caos, fractales y cosas raras. México. Colección la Ciencia en México.

Cheong, O.; Har-Peled, S.; Linial, N.; Matousùek, J.: “The one-round Voronoi game”,
Proc.18th Annu. ACM Symp. On Computational Geometry, 2002.

Fama, Eugene. (1964). The distribution of daily differences of Mandelbrot’s stable
hypothesis. World Economy Review. 3(1):49-67.

Geman, S.; Geman, D.: .Stochastic relaxation, Gibbs distribution, and the Bayesian
restoration of images, IEEE Trans. on Pattern Analysis and Machine Intelligence, PAMI-6: pp. 721-741, 1984.

Lei, T. (1990). Similarity Between the Mandelbrot Set and Julia Sets, Commun. Math.
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Mandelbrot B. (1982). Characteristics of Fractals. Amsterdam. Press University.

Mandelbrot, B. (2004).El comportamiento de mercados, una opinión de Fractal del riesgo,
ruina y recompensa .Washington. Press University.

Mandelbrot, B. (2004).Multifractal measures, especially for the geophysicist. Pure and
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