DIN�MICA DISCRETA

CAPÍTULO 7

MODELOS ECOLÓGICOS

1)       Modelo de crecimiento de la población de una sola especie.

                    Sea Nt la población en el periodo t
                    Sean b y d las tasas de nacimientos y defunciones por periodo de una población:
                              # de Nacimientos
                    b  =  –––––––––––––––––
                                       Nt

                              # de Defunciones
                    d  =  –––––––––––––––––
                                       Nt

                    por lo cual los valores de b son mayores o igual a 0 y los de d se encuentran comprendidos entre 0 y 1
                    Llamemos R = b – d, a la tasa neta de crecimiento de la población, cuyos valores están comprendidos entre –1 y ∞.
                    Entonces:
                    Nt+1    = Nt + R•Nt
                              = (1+R)•Nt
          Por lo tanto la solución de la ecuación (Utilizando la solución de la ecuación (e)) es:
                    Nt = No(1+R)t

          Comportamiento de la solución:
          a)       Si b > d (R > 0), la población crecerá indefinidamente.
          b)       Si b = d (R = 0), la población permanecerá constante.
          c)       Si b < d (R < 0), la población disminuirá hasta desaparecer.

 

2)       Modelo de crecimiento de la población de una sola especie con ambiente de capacidad limitada (K). (Modelo Logístico)

                    En este modelo se supone que la tasa de crecimiento de la población de la especie es proporcional a la población en el periodo, y a la capacidad de seguir aceptando nuevos individuos en el nuevo periodo.
          De esta manera se tiene el siguiente modelo:

          ∆Nt = A•Nt•(K − Nt+1)                                                                          (1)

En donde K, es la Capacidad y A = R/K, en donde R
es la tasa de crecimiento1 .

          Nt+1 – Nt = A•Nt•K – A•Nt•N t+1                                                 (2)

dividiendo (2)  entre Nt+1 y Nt:

                                                                     (3)

llamando Yt = 1/Nt, sustituyendo en (3)

          Yt – Yt+1 = R•Yt+1 – A                                                                (4)

          (1 + A•K)•Yt+1 – Yt = A                                                             (5)

                                                         (6)

la solución de la ecuación 5 (aplicando la solución de la ecuación (f)) es:

                                                                                                                        

que simplificado queda:

                                                               (7)

Volviendo a sustituir en 7, Yt por 1/Nt se tiene como solución de la población para el momento t:

              
o también:

                   

Comportamiento de la solución:

a)         Si No < K, la población crecerá acercándose asintóticamente a su punto de equilibrio K.
b)        Si No = K, la población permanecerá constante en su punto de equilibrio K.
c)         Si No > K, la población disminuirá acercándose asintóticamente a su punto de equilibrio K.

Parametros:
R =	0,5		0,5		0,5
K =	20.000		20.000		20.000
A =	0,000025		0,000025		0,000025
No =	1000		20.000		40000
t	No < K	Y	No = K	Y	No > K	Y
0	1.000,00	0,001	20.000,00	0,00005	40.000,00	0,000025
1	1.463,41	0,000683333	20.000,00	0,00005	30.000,00	3,33333E–05
2	2.117,65	0,000472222	20.000,00	0,00005	25.714,29	3,88889E–05
3	3.016,76	0,000331481	20.000,00	0,00005	23.478,26	4,25926E–05
4	4.207,79	0,000237654	20.000,00	0,00005	22.191,78	4,50617E–05
5	5.710,93	0,000175103	20.000,00	0,00005	21.409,69	4,67078E–05
6	7.496,14	0,000133402	20.000,00	0,00005	20.918,22	4,78052E–05
7	9.469,58	0,000105601	20.000,00	0,00005	20.602,92	4,85368E–05
8	11.485,34	8,70675E–05	20.000,00	0,00005	20.397,95	4,90245E–05
9	13.384,79	7,47117E–05	20.000,00	0,00005	20.263,55	4,93497E–05
10	15.043,37	6,64745E–05	20.000,00	0,00005	20.174,93	4,95665E–05
11	16.398,02	6,0983E–05	20.000,00	0,00005	20.116,28	4,9711E–05
12	17.445,32	5,7322E–05	20.000,00	0,00005	20.077,37	4,98073E–05
13	18.221,14	5,48813E–05	20.000,00	0,00005	20.051,51	4,98715E–05
14	18.777,86	5,32542E–05	20.000,00	0,00005	20.034,31	4,99144E–05
15	19.168,30	5,21695E–05	20.000,00	0,00005	20.022,86	4,99429E–05
16	19.437,74	5,14463E–05	20.000,00	0,00005	20.015,24	4,99619E–05
17	19.621,61	5,09642E–05	20.000,00	0,00005	20.010,15	4,99746E–05
18	19.746,14	5,06428E–05	20.000,00	0,00005	20.006,77	4,99831E–05
19	19.830,04	5,04285E–05	20.000,00	0,00005	20.004,51	4,99887E–05
20	19.886,37	5,02857E–05	20.000,00	0,00005	20.003,01	4,99925E–05

3)       Modelo de comportamiento de dos poblaciones:

a)       El comportamiento de dos poblaciones en competencia viene dado por:
    
                              xt+1 = axt – byt
    
                              yt+1 = –cxt + dyt
    
          en donde a, b, c d son constante positiva; a, d > 1. Si inicialmente x=xo  e  y=yo, ¿Bajo que condiciones se extingue alguna de las dos poblaciones?
   
                              Vamos definir a = 1 + rx y d =1 + ry.
                             
          Si se da que b >  rx y d > ry, las dos poblaciones se iran extinguiendo progresivamente, aunque las poblaciones iniciales sean igual a un autovector. Pero si una de las poblaciones, se extingue antes que la otra, la otra vuelve a crecer.

         
          En caso contrario se extinguirá la población cuyo valor inicial sea menor que el valor del componente del autovector correspondiente.

          Mientra que si la población inicial es igual a un autovector ambas crecerán indefinidamente

3	-0,8
-0,5	2
D=	5,6
l1=	3,3062258
l2=	1,6937742
T	X	Y
0	1.225	2.000
1	2.075	3.388
2	3.514	5.738
3	5.952	9.718
4	10.081	16.461
5	17.076	27.881
6	28.922	47.224
7	48.988	79.987
8	82.975	135.480
9	140.540	229.472
10	238.044	388.674
:	:	:
20	46.260.692	75.533.636

b)       ¿Como cambiaria el modelo anterior si la población x es      depredadora de la población y? (Ejercicio)

4)                                    Crecimiento de Población.

          Se ha determinado que la población de ciertos insectos, más exactamente mosquitos viene dada por la siguiente ecuación:2
                                    Nt+1 = a×Nt/(1 + b×Nt)                              (1)
          Para resolver esta ecuación empecemos por definir:
                          Yt = 1/Nt                                                 (2)
          Sustituyendo (2) en (1) obtenemos:
                         
                          Yt+1 – (1/a) Yt = b/a                                (3)
          Es de notar que la ecuación (3), si a ≠ 1, es de la misma forma que la ecuación f con A = 1/a y B = b/a y por los tanto tendrá como solución:
          Yt = (b/a)/(1 – 1/a) + [Y0 – (b/a) /(1 – 1/a)](1/a)t    (4)
          Sustituyendo Nt = 1/Yt , en (4) se tendrá:
           
                                       (5)
          Mientras que si a = 1, la ecuación (3) se transforma en:
                          ∆Yt = b                                                   (3’)
ecuación del tipo b que tiene como solución:
                          Yt = Yt + b×t                                            (4´)
          Sustituyendo Nt = 1/Yt , en (4’) se tendrá:
                           
                                                                 (5)

Comportamiento de la solución:

            Si a > 1 entonces el punto de equilibrio Ne es (a–1)/b, de lo contrario será 0. El valor de b influirá en la velocidad de aproximación al punto de equilibrio. De esta manera se tienen los siguientes comportamientos:

a)         Si a > 1, y No < Ne, la población crecerá acercándose asintóticamente a su punto de equilibrio Ne.
b)        Si a > 1, y No > Ne,, la población disminuirá acercándose asintóticamente a su punto de equilibrio Ne.
c)         Si a < 1, la población disminuirá acercándose asintóticamente, de manera exponencial, a su punto de equilibrio 0.
d)        Si a = 1, la población disminuirá acercándose asintóticamente, de manera inversamente proporcional, a su punto de equilibrio 0.
e)         Si No = Ne, la población permanecerá constante en su punto de equilibrio Ne.

5)       Modelo de población por estructura de edad:

                    Se supone que se tiene n estratos de la población ordenados según la edad. Cada grupo tiene una tasa nacimiento bi, una tasa de supervivencia si de los que pasan en un periodo de un estrato al siguiente estrato y otra tasa de supervivencia de los que se quedan en el mismo estrato pi:

                    De esta manera se tiene el siguiente modelo:
         
                              X1,t+1 = p1•X1,t + ∑i=1,nbi•Xi,t

                              Xi,t+1 = pi•Xi,t + si–1•Xi–1,t

          En el caso en que los estratos coincidan con las unidades de los periodos se tiene entonces:

                              X1,t+1 = ∑i=1,nbi•Xi,t

                              Xi,t+1 = si–1•Xi–1,t