DIN�MICA DISCRETA

ANEXO I

ECUACIONES ALGEBRAICAS DE 2DO, 3ER Y 4TO GRADO.

A.- ECUACIONES CUADRÁTICAS

Sea la ecuación:

x2 + b•x + c = 0

Las soluciones de dicha ecuación vienen dado por:

Algunas propiedades de las ecuaciones cuadráticas.

1)         El producto de las raíces es el término independiente:

x1•x2 = c
             y la suma de las mismas es el negativo del coeficiente del término simple:
x1+x2 = –b
             Esto implica:
             a)    Si c es positivo y 4c < b2: todas las raíces son reales, o todas son positivas, y en tal caso b es negativo, o las dos son negativas y en tal caso b es positivo también.
             b)    Si c es negativo: las dos raíces son reales y de signo opuesto.

2)         Si el término independiente es cero (c = 0) una de las raíces es cero, y la otra se puede obtener a partir de una ecuación de primer grado:

x2 + b•x = 0
x•(x + b) = 0
           y por lo tanto va valer ­– b.
 

B.- ECUACIONES CÚBICAS

Sea la ecuación:

x3 + b•x2 + c•x + d = 0

Para resolver dicha ecuación se siguen los siguientes pasos:

1)       Se hace la siguiente transformación:

                    x = y – b/3
         
y se obtiene la siguiente ecuación reducida:

y3 + 3p•y + 2q = 0

          en donde:

                    3p = –(1/3)•b2 + c
                    2q = (2/27)•b3 – (1/3)•b•c + d

• Según el resultado de p, q,  y p3 + q2 se tiene:

2.1.    p3 + q2 > 0

Una raíz real y dos raíces complejas conjugadas, cuyas formulas son:

         
           
                              y1 = u + v

                             
          Ejemplo:
    

2.2.    p = 0

Una raíz real y dos raíces complejas conjugadas, cuyas formulas son:

         
                                       
                             
         
Ejemplo:
    

2.3.    p3 + q2 = 0

2.3.a. p ≠ 0, q  ≠ 0

Tres raíces reales, de las cuales dos son iguales y cuyas formulas son:

         
           
                              y2 = y3 = – y1/2
          Ejemplo:
    

2.3.b. p = q = 0

Tres raíces reales iguales y cuyos valores vienen dados por:

          x1,2,3 = – b/3 (y1,2,3 = 0)

Ejemplo:

2.4.    p3 + q2 < 0

Tres raíces reales diferentes, cuyas formulas son:
         
           
                             

          Ejemplo:
    

2.5.    q  = 0

                    En este caso se reduce la ecuación a:
                             
y3 + 3p•y  = 0

                    que es equivalente a:

y•(y2 + 3p) = 0

                    cuyas raíces son: 0, .
          Y en este caso si p es positivo se tendrá una raíz real y dos complejas.

 
Ejemplo:
    

Y si p es negativo se tiene tres raíces reales

Ejemplo:
    

Algunas propiedades de las ecuaciones cúbicas.

1)         El producto de las raíces es el negativo del término independiente:

x1•x2•x3 = –d
             y
             La suma de las mismas es el negativo del coeficiente del término cuadrático:
x1+x2+x3 = –b
             Esto implica:
             a)    Si d es negativo: si todas las raíces son reales, o todas son positivas, y en tal caso b es negativo, o dos son negativas y una es positiva, y si hay dos raíces complejas conjugadas, la raíz real  es positiva.
             b)    Si d es positivo: si todas las raíces son reales, o todas son negativas, y en tal caso b es positivo, o dos son positivas y una es negativa, y si hay dos raíces complejas conjugadas, la raíz real  es negativa.

2)         Si el término independiente es cero (d = 0) una de las raíces es cero, y las demás se pueden obtener a partir de una ecuación de segundo grado:

x3 + b•x2 + c•x = 0
x•(x2 + b•x + c) = 0

         
C.- ECUACIONES CUÁRTICAS

Sea la ecuación:

x4 + b•x3 + c•x2 + d•x + e = 0

Para resolver dicha ecuación se siguen los siguientes pasos:

1)       Se hace la siguiente transformación:

                    x = z – b/4
         
y se obtiene la siguiente ecuación reducida:

z4 + p•z2 + q•z + r = 0

          en donde:

                    p = –(3/8)•b2 + c
                    q = (1/8)•b3 – (1/2)•b•c + d
                    r = –(3/256)•b4 + (1/16)•b2•c – (1/4)•b•d + e

• Se asocia la siguiente ecuación resolvente cúbica:

y3 + (p/2)•y2 + [(p2 – 4r)/16]•y – (1/64)•q2=0

• Se obtienen las raíces de esta ecuación (Ver anexo sobre ecuaciones cúbicas).

• Se compara  con –(q/8), si son iguales (del mismo signo) las raíces de la ecuación reducida son:

          De lo contrario (si los signos son diferente) las raíces serán:

         

Ejemplo:

          En el caso de que la ecuación cúbica tenga raíces negativas, sus respectivas raíces cuadradas serán números imaginarios, y por lo tanto la ecuación cuartita tendrá raíces complejas.

Ejemplo:
    

          En el caso de que la ecuación cúbica tenga raíces complejas, sus respectivas raíces cuadradas vendrán dados por:
                             
En donde r es el modulo de las raíces y j el arcos de la razón entre r y la parte real de las raices.

Ejemplo:
    

Algunas propiedades de las ecuaciones cuárticas.

1)         El producto de las raíces es el término independiente:

x1•x2•x3•x4 = e

2)         La suma de las raíces es el negativo del coeficiente del término cuadrático:

x1+ x2+ x3+ x4 = – b

3)         Si el término independiente es cero (e = 0) una de las raíces es cero, y las demás se pueden obtener a partir de una ecuación cúbica:

x4 + b•x3 + c•x2 + d•x = 0
x•(x3 + b•x2+ c•x + d) = 0

• Si los términos cúbicos y simple son nulos (b, d = 0), se puede resolver como una ecuación cuadrática con el cambio de variable:

y = x2.