NÚMEROS COMPLEXOS: HISTÓRIA, TEORIA E PR�TICA

CAPÍTULO II
A TEORIA

2. FUNDAMENTOS DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Neste capítulo iremos apresentar todos os fundamentos dos números complexos, devidamente sistematizados, utilizados atualmente no ensino básico e superior, produto do acumulo de 4 séculos de pesquisas e inovações.

2.1 UNIDADE IMAGINÁRIA

Chamamos unidade imaginária ao número i tal que:

Assim, no conjunto dos números complexos, as equações do 2º grau com possuem solução não-vazia.

2.2 O CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Dentre os conjuntos numéricos já conhecidos temos o conjunto dos números naturais, representado da seguinte forma:

Para dar viabilidade às subtrações, este conjunto foi ampliado e assim obtivemos o conjunto dos números inteiros, representado da seguinte forma:

Para dar viabilidade àsdivisões, estendemos este derradeiro e assim obtivemos o conjunto dos números racionais, que podem ser representados por uma fração, com numerador e denominador inteiros:

Em Q, a equação não pode ser resolvida, ou seja, as soluções e não podem ser representadas pela fração , com e a e b pertencentes a Z. esão exemplos dos números chamados irracionais (Ir).
Ao se fazer a união dos racionais com os irracionais surgem os números reais(IR):

Logo, podemos definirN como uma parte de Z, Z como uma parte de Q e Q+ Ir, e este ultimoo conjunto IR e escrever:

Inferimos que, então . Assim, a equação não possui solução em IR, pois:

Logo, não existe um número real x que elevado ao quadrado resulte em -1. E por conta de tal fenômeno é que temos de ampliar o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto de números, ora denominado conjunto dos Números Complexos (C).

Imagem 11: Conjunto dos Números Complexos (C)

Inferimos que, o conjunto C é aquele formado pelos números que podem ser expressos na forma  , em que , e , ou seja:

2.3 FORMA ALGÉBRICA

Note que a forma é denominada forma algébrica de um número complexo, em que a é a parte real e b, a parte imaginária.
Tomando um número complexo , temos: