EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE EN LA MATEMATICA DESDE UNA PROPUESTA METODOLOGICA

II.1.- UNA FUNDAMENTACIÓN DESDE LA TEORÍA

Cambiar las actitudes, hábitos y prácticas pedagógicas no se logra a través de reglamentos y normatividades; por el contrario, para que los alumnos y profesores reencuentren sentido al aprendizaje, el docente debe realizar un proceso reflexivo en el que estén presentes los fines y objetivos de la educación. “Para avanzar en el propósito de conciliar cantidad con calidad, será necesario inducir y fomentar métodos de enseñanza adecuados a la dimensión masiva de la matrícula” (MENDOZA ROJAS: 1991: 117), es decir, “elevar la calidad de la educación en todos los niveles a partir de la formación integral de los docentes” (MENDOZA ROJAS: 1991: 115).
Cuando el docente se desempeñe en el aula con verdadera vocación de servicio, empezará a notar que “la motivación aumenta cuando el individuo desenvuelve el sentimiento de que es capaz de alcanzar sus metas personales, es decir, desarrollar la valorización del YO o sea a aprender” (LIBANEO: 1988: 45). Es fundamental la motivación para realizar con efectividad cualquier actividad que se emprenda, al respecto Bertha Medina y Carolina Rodríguez citados por BATLLORI y ACUÑA (1988: 140) dicen, ”el objetivo es propiciar la motivación a través de la alegría de descubrir, y lograr así que el alumno realice operaciones lógicas abstractas”. La motivación ha sido definida por AZCOAGA (1974: 82) “como el conjunto de condiciones que hacen posible el aprendizaje, es más, que lo hacen necesario... Motivar para una determinada forma de aprendizaje escolar significa crear estímulos convenientes que susciten la atención tónica. Estos estímulos deben necesariamente ser de tipo sensoperceptivo adecuados para evitar la monotonía”.
Bertha Medina y Carolina Rodríguez citados por BATLLORI y ACUÑA (1988: 139) afirman que “el rechazo del alumno a la matemática se debe en parte, a una actitud heredada a través de generaciones, las cuales han planteado a esta ciencia como materia de gran dificultad para su aprendizaje, y en parte a que efectivamente para algunos alumnos resulta difícil”. Lo anterior origina según Guevara Cisneros citado por el autor antes mencionado (1988: 85) que, “muchos alumnos seleccionan su licenciatura buscando aquella que no tenga relación con la matemática”.
Alvarado Monterrubio citado por BATLLORI y ACUÑA (1988: 6) en sus investigaciones realizadas al estudiar la relación de alumnos egresados de Bachillerato del Colegio de Ciencias y Humanidades, durante los años de 1973 al 1983 y aspirantes a cursar las carreras profesionales  encontró que, el 8.55% eligió carreras donde se supone que el alumno tiene una interacción fuerte con la matemática; en cambio el 23% eligió carreras con una interacción suave con la matemática y el 32.57% eligió aquellas carreras con una interacción débil con la mencionada materia.
Alvarado Monterrubio define estas interacciones como:

• Interacción fuerte.- las diversas asignaturas que conforman el plan de estudios requieren de la matemática para la descripción, explicación y predicción de los conceptos fundamentales en el campo teórico y experimental, por tanto, se requiere de un conocimiento profundo de la misma.
• Interacción suave.- las asignaturas del plan de estudios requieren de la matemática como una herramienta, lo cual implica la comprensión de sus conceptos para su aplicación en el estudio de los fenómenos que se observan en la naturaleza y en la sociedad. El manejo de la matemática en este nivel, requiere de la destreza en la aplicación de operadores y modelos matemáticos.
• Interacción débil.- las asignaturas del plan de estudios no requiere de la matemática para su fundamentación y sólo en ocasiones se necesita del manejo de conceptos elementales.

Las definiciones sobre aprendizaje son tan variadas  como diversas son las teorías psicológicas sobre este proceso humano; pero ciertas características se repiten con frecuencia. El aprendizaje es cambio de conducta relativamente permanente, es resultado de la práctica, es progresiva adaptación, es un cambio de actitud, es una reacción a una situación dada, es una actividad mental por la que se adquieren hábitos, es una modificación de la personalidad, es un desarrollo estimulado, es la respuesta correcta a estimulaciones...
El fenómeno educativo, dada su complejidad y multideterminación, puede asimismo ser explicado e intervenido desde otras ciencias humanas, sociales y educativas.
En este apartado se presentan algunas aportaciones recientes de la denominada CONCEPCIÓN CONSTRUCTIVISTA al terreno del aprendizaje escolar y la intervención educativa.
Carretero citado por DIAZ BARRIGA Y HERNANDEZ ROJAS (1997: 27) afirma que el  constructivismo “básicamente puede decirse que es la idea que mantiene que el individuo - tanto en los aspectos cognitivos y sociales del comportamiento como en los afectivos - no es un mero producto del ambiente ni un simple resultado de sus disposiciones internas, sino una construcción propia que se va produciendo día a día como resultado de la interacción entre esos dos factores. En consecuencia, según la posición constructivista, el conocimiento no es una copia fiel de la realidad, sino una construcción del ser humano. ¿Con qué instrumentos realiza la persona dicha construcción?. Fundamentalmente con los esquemas que ya posee, es decir, con lo que ya construyó en su relación con el medio que lo rodea”.
Dicho proceso de construcción va a depender de dos aspectos fundamentales:
a) De los conocimientos previos o representación que se tenga de la nueva información o de la actividad o tarea a resolver.
b) De la actividad externa o interna que el aprendiz realice al respecto.
La concepción constructivista del aprendizaje escolar se sustenta en la idea de que la finalidad de la educación que se imparte en las instituciones educativas es promover los procesos del crecimiento personal del alumno en el marco de la cultura del grupo al que pertenece. Estos aprendizajes no se producirán satisfactoriamente a no ser que se suministre una ayuda específica a través de la participación del alumno en actividades intencionales, planificadas y sistemáticas que logren propiciar en éste una actividad mental constructiva. Por lo tanto, la construcción del conocimiento escolar puede analizarse desde dos vertientes:
a) Los procesos psicológicos implicados en el aprendizaje.
b) Los mecanismos de influencia educativa susceptibles de promover, guiar y orientar dicho aprendizaje.
Es evidente que desde una postura constructivista, se rechaza la concepción del alumno como un mero receptor o reproductor de los saberes culturales, así como tampoco se acepta la idea de que el desarrollo es una simple acumulación de aprendizajes específicos. “La mejor construcción del conocimiento se da cuando al alumno se le enfrenta a problemas significativos que debe resolver. Más que aprender habilidades de pensamiento el alumno debe comprometerse con la solución de uno de estos problemas en los que se le pide utilice su conocimiento generativo y aplique ciertas estrategias para la solución de problemas” (ALLAN A: 1997: 44).
Se puede afirmar, que la construcción del conocimiento escolar es en realidad un proceso de elaboración, en el sentido de que el alumno selecciona, organiza y transforma la información que recibe de muy diversas fuentes, estableciendo relaciones entre dicha información y sus ideas o conocimientos previos. Construir significados nuevos implica un cambio en los esquemas de conocimiento que se poseen previamente, introduciendo nuevos elementos o estableciendo nuevas relaciones entre dichos elementos. Así, el alumno podrá ampliar o ajustar dichos esquemas o bien reestructurarlos a profundidad como resultado de su participación en un proceso intelectual. “El desarrollo intelectual no se produce por simple maduración, por el paso del tiempo o por el crecimiento, sino que es el resultado de un larguísimo trabajo de construcción que se realiza cada día, a cada minuto, en todos los intercambios que el sujeto realiza con el medio” (DELVAL: 1984: 80).
DIAZ BARRIGA Y HERNANDEZ ROJAS(1997: 29), integran los siguientes siete principios de aprendizaje que se asocian a una concepción constructivista:
1.- El aprendizaje es un proceso constructivo interno, autoestructurante
2.- El grado de aprendizaje depende del nivel de desarrollo cognitivo
3.- El punto de partida de todo aprendizaje son los conocimientos previos
4.- El aprendizaje es un proceso de (re)construcción de saberes culturales
5.- El aprendizaje se facilita gracias a la mediación o interacción con los otros
6.- El aprendizaje implica un proceso de reorganización interna de esquemas
7.- El aprendizaje se produce cuando entra en conflicto lo que el alumno ya sabe con lo que debería saber.
Resnick citado por DIAZ BARRIGA Y HERNANDEZ ROJAS (1997: 30) afirma que “la forma en que la institución escolar busca fomentar el conocimiento contradice frecuentemente la forma en que se aprende fuera de ella. El conocimiento fomentado en la escuela es individual, fuera de ella es compartido; el conocimiento escolar es simbólico-mental, fuera de ella es físico-instrumental”. “El aprendizaje en el mundo real no es como el aprendizaje en la escuela. Se asemeja más al aprendizaje donde los novatos, con el apoyo de un guía experto o modelo, asumen cada vez más responsabilidad hasta que son capaces de funcionar en forma independiente” E. Woolfolk (1995: 277).                      
Para EUSSE ZULUAGA  (1994: 35) el instrumento con el cual el docente genera y propicia el proceso enseñanza-aprendizaje es el programa de estudios, en el cual los conocimientos están organizados en bloques o unidades, con sus objetivos, traducidos en contenidos que deben propiciar el aprendizaje. Dichos conocimientos se convierten en el objeto de estudio del proceso enseñanza-aprendizaje, y representan la concreción de la ciencia como proceso. En un programa de estudios, el conocimiento está organizado en los contenidos que lo integran, y se le proporciona al docente para ser trabajado con los alumnos sin que haya participado en su selección u organización, aunque esto no se puede generalizar. Los conocimientos organizados en teorías y contenidos, y estructurados en un programa de estudios, es decir “lo dado”, constituye el material a partir del cual puede iniciarse el proceso de construcción del conocimiento dentro del proceso enseñanza-aprendizaje; esto es, puede vislumbrarse la posibilidad de lo “dándose”, lo posible, lo no construido pero posible de construirse. Es en el sentido de apropiación y transformación de lo real, que el profesor se presenta como mediador entre la realidad objetiva y la experiencia que poseen los alumnos.
La capacidad de pensar y explicar no siempre van juntas, podemos organizar un planteamiento crítico y no ser explicativo y viceversa; estos dos aspectos deben conjugarse en el acto de enseñar a pensar pensando. Las formas de pensar son formas de relacionarse con la realidad, esto es apropiarse de ella para explicarla, problematizar o formarse juicios. En estos procesos están presentes los parámetros culturales de valor, ideológicos y dogmáticos, que van a influir en las formas de pensar. La razón categorial consiste en la transmisión de formas de pensar, e implica pensar, ordenar, estructurar, racionalizar; implica a su vez la ruptura de una estructura lógica y la incorporación de una realidad prevista. La razón categorial consiste en aprender a razonar desde lo que se sabe para lograr la cristalización del razonamiento humano, que a su vez constituye la base de nuevos procesos.
En general se acepta que las fuentes de la invención matemática residen a veces, en las realidades del mundo que nos rodea y que muchos de los resultados matemáticos son parte de la base conceptual con que cuentan los científicos para la comprensión y descripción del mundo físico. Desde el punto de vista pedagógico la relación matemática-realidad se ha interpretado o utilizado de varias maneras; algunas de ellas son las siguientes:
1.- Enseñar contenidos matemáticos a partir de problemas reales.
2.- Enseñar a aplicar contenidos matemáticos.
3.- Enseñar matemática aplicada.
4.- Enseñar cómo se ha aplicado la matemática.
En la concepción tradicional el aprendizaje del alumno depende directamente de la influencia del profesor y de la metodología de la enseñanza utilizada. En la concepción constructivista, además de tomarse en cuenta estos dos factores, se pone de relieve lo siguiente:
1.- La importancia del conocimiento previo del alumno.
2.- Que los contenidos tengan una cierta lógica intrínseca que el alumno pueda relacionar con lo que ya conoce.
3.- La motivación del alumno para aprender significativamente.
En las clases de matemática siempre se dice a los alumnos acerca de la gran utilidad de esta ciencia y que todo el desarrollo científico y tecnológico actual se lo debemos a la matemática. Sin embargo, en el aula, porque así lo establecen los planes y programas de estudio y por la deficiente preparación de algunos profesores, se hace demasiado énfasis en que el alumno memorice definiciones, leyes y términos que ninguna utilidad práctica tienen en la aplicación de la matemática. Dándole en cambio poca atención a la resolución de problemas, siendo que resolver problemas es la mejor manera de realizar un buen aprendizaje. Lo anterior contribuye a que el alumno rechace la matemática al no ver una utilidad práctica en lo que aprende. 
Uno de los aspectos fundamentales de la metodología que se describe en este documento es que, nunca se pide al alumno que memorice leyes, teoremas, axiomas, etc.; es más, en muchas ocasiones ni siquiera se le mencionan, todo su trabajo en el aula es totalmente práctico. Todas las leyes, teoremas, etc, que el alumno necesita saber, es mediante la aplicación y comprensión matemática de las mismas.
Muy significativo para los alumnos es, por ejemplo, cuando se estudia la trigonometría, aprenden a resolver problemas de la asignatura de estática que se imparte en algunas carreras de ingeniería; o cuando se estudia la geometría analítica, aprenden a resolver problemas de la asignatura de topografía que se imparte a estudiantes de ingeniería civil.
La motivación y como consecuencia el aprendizaje aumentan cuando el alumno ve el resultado de la adquisición de los nuevos conocimientos y se da cuenta de lo que es capaz de hacer   
Para que haya una buena enseñanza-aprendizaje de la matemática se requiere que el profesor tenga habilidad, creatividad e ingenio; si no hay una buena preparación del profesor, ninguna metodología será eficaz o el aprendizaje será muy por debajo de lo esperado; si el alumno no entiende de una manera, el profesor debe de disponer de otras alternativas; es necesario transmitir seguridad y confianza al estudiante, para que él sienta que todas sus preguntas serán respondidas satisfactoriamente; si el alumno recibe de su instructor inseguridad en la enseñanza, casi seguro que se bloqueará su aprendizaje. Es necesario que el profesor provoque y logre que sus alumnos lo admiren, desarrollar su autoestima, alegría por descubrir y construir; todo esto originará una mente receptiva y fértil. Una buena metodología es muy importante para el buen aprendizaje, pero también las buenas actitudes que tenga el alumno por aprender; la escuela y el profesor podrán contribuir mucho a la formación y desarrollo de éstas.
Durante todo el tiempo que se ha trabajado con esta metodología, se ha observado que, invariablemente, en el aprendizaje de la matemática se presentan las etapas que Piaget menciona:

•  1.- Preliminar o de juego; las actividades son más bien desordenadas sin objeto aparente; el sujeto debe tener libertad de experimentar; encuentra satisfacción en la actividad.
• Con el uso de esta metodología, casi siempre se ha trabajado con alumnos de entre doce y trece años de edad, a quienes solamente se les pide que, como punto de partida, tengan buen dominio de la suma, resta, multiplicación y división. Se comienza con el álgebra y en sus cuadernos de trabajo, al principio se observan en forma muy desordenada los problemas que han resuelto; hacen preguntas como, ¿esto para qué me sirve?, o, ¿y esto en que me va a ayudar después?. Sin embargo, se alegran al comprobar en su libro de texto que el resultado obtenido por ellos está correcto; se alegran y compiten entre ellos para ver quien lo hace bien y en menor tiempo.  
• 2.- Juegos estructurados; es más dirigida y orientada, aunque aún no se llega a una clara comprensión de lo que se busca.
• Se ha observado que los alumnos, cuando ya tienen un fuerte avance en el álgebra, manifiestan una gran motivación al ellos ver que sus conocimientos son mayores que los de alumnos o familiares que estudian niveles académicos superiores a ellos. Aquí ya están aplicando lo aprendido en álgebra con los nuevos conocimientos de la misma. En esta etapa, ya no hacen las preguntas, ¿esto para qué me sirve?, o, ¿y esto en que me va a ayudar después?.
• Aquí ya se empieza a observar el orden en la resolución de los problemas que realizan. Para el obtener el orden en el desarrollo de los problemas, se les recuerda constantemente que lo hagan siguiendo los ejemplos que el instructor realiza en el pizarrón. 
• 3.- Proporciona la adecuada práctica para aplicar y fijar los conceptos que han sido formados.
• Se considera que es en la trigonometría cuando se empieza a presentar esta tercera etapa. Aquí ellos aplican el álgebra y la trigonometría en la resolución de problemas de la vida diaria. Es de mucha motivación para ellos resolver problemas sencillos que se imparten en la materia de estática correspondiente a las carreras de ingeniería.
• El cambio de una etapa a la siguiente, no se da de inmediato, sino que es un proceso que requiere largo tiempo y trabajo por parte del alumno y el profesor.