CUARTO SEMINARIO DE DESARROLLO LOCAL Y MIGRACIÓN

CUARTO SEMINARIO DE DESARROLLO LOCAL Y MIGRACIÓN

Eduardo Meza Ramos (CV), Octavio Bojórquez Camacho y Edel Soto Ceja. Coordinadores

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El concepto de límite y su enseñanza - aprendizaje

Resumen.
   Nos hemos propuesto investigar el Concepto de Límite en situación escolar, des- de la óptica de varias líneas de investigación. Lo cual y desde el proceso de su problematización, permite observar en primer lugar, los dos grandes problemas existentes: Uno de carácter histórico y el segundo de carácter pedagógico y didác- tico. Y a su vez, cada uno de estos problemas con su respectivo desglose. Una re- flexión de los productos parciales, en las líneas de: El desarrollo conceptual histó- rico del concepto de límite, inicios de exploración en la reconstrucción histórica de la introducción del Cálculo en México, el análisis de los informes de investigación sobre el problema de aprendizaje del Concepto de Límite, tanto en México como en otros países,… Y todo ello, en su inevitable contraste con el modelo infinitesi- mal como referente; conduce a pensar en el siguiente conjunto de Hipótesis: (i). Debido a la suma y las características de las dificultades en la enseñanza ~apren- dizaje de este Concepto, se perfila el discurso del Cálculo Infinitesimal como el más apropiado en el nivel bachillerato, para ser incorporado como discurso alter- nativo; (ii). De ser así y que en base a sucesivas valoraciones de experiencia en un período de tiempo lo confirmen, el estudio del discurso vía límites del Cálculo se vería desplazado al nivel Superior. Y en este último, habría que analizar: Desde qué momento o grado, en cuáles carreras profesionales, los objetivos y justifica- ciones, los enfoques y los contenidos y su alcance teórico. (iii). Dentro de la ense- ñanza ~ aprendizaje del Concepto de Límite en su totalidad, es necesario el dise- ño de una estrategia metodológica, que cristalice todos los conocimientos que an- teceden y se dirigen a este concepto y en general, a este discurso del Cálculo.

Introducción.
   El Concepto de Límite cuando se define, se convierte en un operador una vez que se aplica a un argumento que puede ser: una sucesión numérica infinita o una función de variable real, respectivamente convergentes. Con los conceptos de Lí- mite y de Función, se define el Concepto de Continuidad. Y con estos tres concep- tos como fundamento, se desarrolla todo el discurso del Cálculo, vía límites. En esta perspectiva, el concepto de límite es el que tiene mayor presencia y efecto ló- gico en este discurso. Pues además, las mismas definiciones de Derivada e Inte- gral se expresan por medio de límites específicos, respectivamente.
   El Concepto de Límite en situación escolar, entraña a su vez, dos grandes pro- blemas: Uno de carácter histórico, y el segundo, de carácter pedagógico y didácti- co. En el primer caso, existe un desglose: El estudio de su génesis y desarrollo conceptual histórico; y en otro plano, la reconstrucción histórica de la introducción del Cálculo en el proceso de culturización matemática en México. En el segundo caso, está el conflicto didáctico y pedagógico, por la convergencia de obstáculos al momento en que el estudiante se enfrenta a este concepto, teniendo a un profesor o asesor como mediador inmediato.
   El mayor obstáculo lo genera la presencia de la noción del infinito. Es decir, el concepto de límite no se puede definir en ausencia del infinito matemático. Y la presencia de éste en su definición formal, es lo que genera la dificultad en cada caso específico demostrativo, pues de lo que se trata es de “encerrar” o “atrapar” un proceso infinito específico que se encuentra en situación límite.
   Sin embargo, existen más problemas que se combinan con el anterior. En parti- cular y dentro del proceso de problematización, nos referimos: al análisis de los datos sobre cuestionarios aplicados o de experiencias en los cursos de Cálculo, que se han realizado como parte de un diagnóstico sobre las dificultades de per- cepción y razonamiento que se manifiestan en el momento en que el estudiante de bachillerato se confronta con el concepto de límite. Como por ejemplo, en la cues- tión: ¿Es el número:  0. 99999… = 1, o menor a uno? Que en base a las reflexio- nes y señalamientos que hace el Dr. Carlos Ímaz (2010), sobre las interpretacio- nes de las respuestas a tal pregunta, parece que estos análisis requieren de una reflexión más a fondo y de una confrontación con su referente inevitable: el mode- lo infinitesimal. Y ello, como parte del propósito de aclarar cuál podría ser el dis- curso más apropiado desde el punto de vista pedagógico, que vaya al encuentro de la intuición de los estudiantes, la recupere y desarrolle en la operatividad del Cálculo. De lo que se podría derivar, una estrategia más apropiada en el estudio de introducción para el nivel medio superior.

Justificación.
   Se destaca la importancia del Concepto de Límite, tanto en el papel central que tiene en la construcción de los fundamentos teóricos del Cálculo vía límites, como de su estudio en situación escolar. Es decir, como objeto teórico construido en su desarrollo conceptual histórico, y como objeto de investigación en la problemática de su enseñanza ~ aprendizaje.
   En el plano curricular, mientras que, desde el Bachillerato esté establecido el contenido de este discurso del Cálculo, entonces, el estudio del concepto de límite adquiere carácter obligatorio. Aun cuando, esta manera de enfocar la situación problemática exhiba cierta comodidad que no ayuda a la búsqueda de propuestas apropiadas o de verdaderas alternativas.
   El Cálculo vía límites, es el discurso predominante en la enseñanza~aprendizaje del Cálculo tanto a nivel medio superior como superior, y en este último, transita al estudio del Análisis Matemático que se aplica en el desarrollo de otras ramas de la matemática de nivel superior, como por ejemplo, las Ecuaciones Diferenciales (or- dinarias y parciales), el Análisis Funcional, etc. Y ello, tanto en escuelas de perfil matemático como en escuelas de ingeniería, guardando las diferencias de enfo- ques, alcance y nivel en el contenido teórico.
   El predominio del Cálculo vía límites ocurre, al margen del enfoque desarrollado en su enseñanza ~ aprendizaje. Es decir, que tanto en el Bachillerato como a nivel superior, estudiamos el Cálculo vía límites porque así está establecido. ¿Cuándo y cómo se estableció?, ¿se hicieron diagnósticos suficientes para ello?, ¿Cuáles fueron los criterios principales que dieron lugar, al establecimiento del Cálculo vía límites? Lo cierto, es que este discurso en la situación escolar actual, mantiene una gran inercia, inamovible como tal; tan sólo se buscan mejores estrategias di- dácticas en la enseñanza ~ aprendizaje de sus conceptos centrales y sus méto- dos. De lo anterior, se podrían enfocar dos puntos de reflexión. En primer lugar:
   ¿Es el tercer año del Bachillerato el nivel escolar apropiado para que los alum- nos estudien el discurso del Cálculo vía límites, y con ello, el Concepto de Límite en su totalidad (no necesariamente con enfoque formal)?

   En esta cuestión, se entiende, que se trata del Bachillerato ordinario en el que se correlacionan las edades de 15 a 18 años. A lo que corresponde, desde luego, una edad intelectual en ese nivel, como síntesis de un proceso histórico de culturi- zación matemática en México. Y en cuya situación escolar a través del tiempo, la edad intelectual producto de ese proceso de culturización matemática, ha sido variable y heterogénea, ya que México en la realidad se desglosa, en por lo menos tres México᾿s. Esa edad intelectual del estudiante del Bachillerato al interactuar con el Concepto de Límite, hace surgir y exhibe el conflicto de su aprendizaje. Mostrando también otros problemas, como por ejemplo: Los defectos o insuficien- cia de una didáctica en el tema, carencia de una estrategia metodológica sobre la enseñanza de este Concepto, la no aceptación o el desconocimiento de que es necesario considerar su génesis y desarrollo conceptual histórico, y falta de refle- xión e investigación de que su definición formal exhibe, a su vez, tanto la estructu- ra lógica de un silogismo que entraña al infinito matemático, como su notación, que forma parte de un sistema semiótico de representación. Lo que en suma, muestra la complejidad, sobre todo para el nivel medio superior, tanto del objeto teórico como del objeto de investigación.

   En el segundo punto, es aún escasa la aceptación y promoción institucional del Cálculo Infinitesimal (vía infinitésimos), como un discurso alternativo que pudiera interaccionar con dicha edad intelectual en la búsqueda de una mejor expectativa en los resultados. De tal manera que en base a éstos, se pudiera llegar a tener u- na valoración sobre las ventajas y diferencias relativas de estos dos discursos del Cálculo en dicho nivel. Las instituciones educativas del nivel superior, deberían apoyar por lo menos: la formación docente no sólo en el discurso del Cálculo vía límites, sino también, en el discurso del Cálculo Infinitesimal; e incorporar un dise- ño curricular alternativo de este último para el nivel medio superior, sin que tenga que desaparecer el discurso ya existente y predominante. Si esto se planifica y de- sarrolla, en un cierto período se generarían condiciones para evaluar y madurar u- na respuesta que responda a: ¿Cuál debe ser el discurso del Cálculo más apropia- do para el nivel medio superior?

   Finalmente, el Cálculo vía límites como rama de las matemáticas superiores, se desarrolla en forma lógico ~ racional a partir de tres conceptos: Función, Límite y Continuidad.

Sobre el marco teórico.
   Desde el punto de vista conceptual ~disciplinario, este proyecto se enmarca dentro de la actividad que se le ha llamado: disciplina emergente de matemática educativa. Desde el punto de vista teórico ~metodológico, el proyecto se enmarca en el mapa de compatibilidad conceptual (véanse: La actualización de este pro- yecto de Octubre-Diciembre, 2007 y “Breve Informe”, de Octubre–Noviembre, 2008), que parte de la matriz filosófica del materialismo dialéctico (F. Engels, 1962). Desde esta base, se define Ciencia Matemática y se relaciona con el Con- cepto de Metodología Matemática, derivado a su vez, de mi tesis de posgrado. Ambos conceptos, surgen de la interacción de la Ciencia Matemática con las de- más Ciencias, a través de la investigación de los problemas específicos de estas últimas. Y esto, enmarcado también, en la metodología general de la actividad científica, como la proyección del materialismo dialéctico sobre el quehacer de la praxis científica. Todo lo cual, proporciona la base teórica, para el desarrollo de una construcción o reconstrucción del conocimiento matemático, y en la medida de su desarrollo, acceder a una epistemología de la matemática. En la dirección de sus dos ejes de investigación: En el plano pedagógico y didáctico, y en el plano metodológico de la matemática aplicada y teórica. Y ambos casos, sobre la base del plano histórico ~cultural.
   Por efecto de este marco teórico, la perspectiva metodológica en la enseñanza~ aprendizaje del Cálculo~ Análisis, se sintetiza como sigue. El enfoque formal, ca- racterizado por el rigor analítico y demostrativo en la presentación de un contenido matemático que opera en su propia lógica interna (cuando se carece de una visión metodológica), y que al no estar en conexión directa (vía los modelos matemáticos respectivos) a los problemas concretos que le dan origen, se genera un estudio de tal forma, que no permite que dicho Contenido sea el “reflejo” inmediato de la lógi- ca objetiva que existe en los mismos. En tal situación, los procesos formales no sólo operan con excesivo simbolismo abstracto, sino que además, se apartan de los problemas de la realidad, sin la perspectiva de un ejercicio metodológico en el que los resultados teóricos sean consecuencia de los objetos matemáticos abstraí- dos de los problemas concretos de la realidad; y también, se alejan de su desarro- llo histórico real. Tal separación y carácter acabado, está en sintonía con la co- rriente del pensamiento filosófico formalista (A. D. Aleksandrov, 1973), que le sirve de marco. Esta es la razón de fondo del por qué un enfoque formal del Cálculo~ A- nálisis (vía límites), debe estar en conexión a los antecedentes históricos y los a- cercamientos didácticos (que incluye los problemas de aplicación) en sus concep- tos fundamentales. Y de esta forma, el diseño de estos Cursos en los niveles me- dio superior (si aún existe) y superior, esté en la perspectiva de un ejercicio en me- todología matemática.

Líneas de Investigación y Métodos.
   Las líneas de investigación se desglosan como sigue. En el aspecto histórico ~ cultural: El desarrollo conceptual histórico del concepto de límite, y el análisis his- tórico~ crítico del proceso de culturización matemática en México; particularmente, en este último caso, la reconstrucción histórica de la introducción del Cálculo en México. En otros aspectos: Experimentos directos y/o aplicación de cuestionarios, sobre el problema de los procesos infinitos en situación límite; Exploración etno- gráfica de la noción de infinitud y de los procesos infinitos en situaciones límite concretas; Finalmente, el análisis y síntesis de los informes de investigación, sobre el problema del aprendizaje del concepto de límite, tanto nacionales como extran- jeros. Los métodos específicos son correlativos a las líneas de investigación y a sus propósitos. Así se tienen los métodos que siguen. Métodos 1 y 2: Análisis lógi- co~ conceptual e histórico ~crítico; método 3: Análisis ~síntesis; método 4: experi-  mental, por la aplicación de cuestionarios y entrevistas. Que incluye, el análisis e interpretación de los datos experimentales y de experiencia.

Discusión y resultados.
   En la dirección del desarrollo conceptual histórico, los momentos notables que anteceden a la construcción del método de exhaución, son los siguientes. (i). Las paradojas de Zenón. Primero: de la “dicotomía”, que en actualidad se presenta co- mo la paradoja del “corredor”; y segundo, la paradoja de “Aquiles y la tortuga”; (ii). El planteamiento del problema de la cuadratura del Círculo, y para tal efecto; (iii). las construcciones geométricas de Antifón: polígonos regulares inscritos de n la- dos (y posteriormente circunscritos) en un círculo de radio r, cuando n crece indefi- nidamente. En esta perspectiva, la cuadratura del círculo se resolvería por defecto (en otro caso, por exceso), pues los matemáticos griegos conocían la manera de obtener un cuadrado con la misma área de un polígono cualquiera. En base a es- tos antecedentes, Eudoxo, matemático de la Escuela de Platón, construye el mé- todo de exhaución. Mismo, que se encuentra en la Proposición 1, del Libro X de Los Elementos de Euclides, o también, en los trabajos sobre la “medida del círcu- lo” y la “cuadratura de la parábola”, de Arquímedes. La transcripción que hace Asger Aaboe (1964), de este método, es como sigue:
   «Proposición. Sean dos magnitudes desiguales dadas (longitudes, áreas o volú- menes). De la mayor quítese al menos la mitad; de la parte restante, quítese nue- vamente, al menos la mitad; y así sucesivamente. Después de repetir este proce- so un número finito de veces la parte que aún nos queda será más pequeña que la menor de las cantidades dadas».
  Y este mismo autor, realiza un proceso lógico demostrativo, que le permite con- cluir sobre la equivalencia lógico ~racional existente entre el método de exhaución y la definición actual del concepto de límite. Una demostración semejante, también se puede encontrar en C. H. Edwards, Jr., (1982).
   La formalización del análisis de los procesos infinitos en situación límite, desde las paradojas de Zenón, la construcción de Antifón (B. L. Van der Waerden, 1975) y hasta el método de exhaución, transitó siempre, dentro de lo que Aristóteles lla- mó el infinito potencial. Evitando las contradicciones que pudiera generar el infinito actual, o según D. J. Struik, (1986), evitar los peligros latentes de los infinitesima- les, simplemente descartándolos. Reduciendo los problemas que pudieran surgir a un proceso de lógica formal.

   Sin embargo, con relación a la equivalencia lógico-racional referida, el Concepto de Límite actual contiene en su definición, un aspecto que amerita un comentario. Para tal efecto, transcribimos la definición del límite sobre una sucesión numérica específica, infinitamente convergente, enfocando su estructura lógica.
Sucesión:   Sn = 2 – (½ n–1),    nN.
                                                              “El  ,
                                                                                
Si  ,  tal que  .

Si el silogismo que está en la parte inferior, se cumple, entonces se concluye la igualdad de la parte superior. Es decir, si el silogismo se cumple, se dice que se ha demostrado la existencia del límite, y es igual a 2. Pero, en el proceso de cálcu- lo de éste y una vez encontrado algebraicamente, suele decirse que se “toma el lí- mite”; como lectura de la igualdad que está al inicio de la definición.
    A este desenlace: “la toma del límite”, algunos investigadores le llaman: “el infi- nito alcanzado”, como sinónimo del infinito actual; lo que evitaban los matemáticos griegos. Es evidente que la frase: “el infinito alcanzado”, es contradictoria y no re- comendable para formar parte del lenguaje dentro de este concepto. Aun cuando, esa igualdad como conclusión lógica del silogismo, es lo que muestra el contraste de la definición del concepto de límite con respecto a la definición del método de exhaución. Este mismo punto lo vemos también, en el caso siguiente.
¿Es el número:   0. 999999…  igual a  1?
   Ante esta cuestión, una corriente de matemáticos dirá que la igualdad es cierta. Que no existe mayor problema en aceptar que la expresión es una igualdad bien fundada. Otra corriente dirá: “El número:   0. 999999…,  está tan cerca del número 1, como se quiera; y exactamente, el número 1 es el límite de la secuencia numéri- ca:  0. 999999… dada”.
   En el fondo de estas lecturas, no sólo existe una diferencia en el discurso del Cálculo, sino también, existe una diferencia filosófica sobre este punto. ¿Por qué? Porque la igualdad:  0. 999999… = 1, es filosóficamente, una unidad contradicto- ria: ¡El primer lado contiene una secuencia numérica infinita, convergente, y el se- gundo lado, es un número finito!
   Ante ello, ¿qué se puede esperar de la lectura e interpretación que hagan los es- tudiantes del bachillerato sobre esta cuestión?

   El Dr. F Hitt, (1997), examina el cuestionario y la valoración de las respuestas a esta cuestión, que se encuentran en el trabajo de B. Cornu (1981). Quien señala, que en general, la expresión “tender hacia” no forma parte del vocabulario de es- tos alumnos. Y que aun cuando, estos alumnos desarrollan en forma intuitiva va- rios modelos de respuesta, predomina la que expresa el carácter inalcanzable del límite.
   Se puede decir además, que en esta edad escolar, muchos alumnos no logran observar que los puntos suspensivos “…”, le confieren movilidad al número dado. Y entonces, hay un cambio radical, no sólo se puede leer como un sólo número, sino también y más exactamente, como una secuencia infinita de números, con un comportamiento convergente. Esto hace ver que la pregunta, hasta cierto grado tiene un sentido capcioso.
      El Dr. F Hitt (1997), cita también los resultados obtenidos por Tall y Schwar- zenberger (1981), en el que plantean la misma cuestión a estudiantes del primer año universitario, pero en los términos siguientes:
¿Es  0. 999 … igual a uno, o menor a uno?
Y cuyas respuestas en su mayoría, están dentro de las categorías siguientes:
    (i). “igual, porque la diferencia entre ellos es infinitamente pequeña”.
    (ii). “igual, ya que en el infinito deviene tan cerca de uno que puede considerar-  
          se como lo mismo”.
    (iii). “Justo menos que uno, pero este es el más cercano a uno, sin decir en rea- 
           lidad que es uno”.
    (iv). “Justo menos que uno, pero la diferencia entre ellos es infinitamente peque-
           ña”.
Y como valoración general, “La mayoría de los estudiantes pensó que 0. 999 … era menor que uno”.
   Por una parte, dicen Tall y Schwarzenberger (1981): “muchas respuestas contie- nen conceptos infinitesimales”; y por otra, interpreta el Dr. F: Hitt (1997):
    “Esto nos muestra que las ideas intuitivas de los alumnos de enseñanza media
    tiene que ver con la idea de que el límite no es alcanzado”.

Y a continuación, el Dr. F. Hitt se pregunta:
   «¿Qué podemos hacer? Si la estrategia a seguir se centra en dejar de lado las definiciones informales e imprecisas sobre límites, y utilizar, por ejemplo, una defi- nición actualizada de límite de una sucesión :
                                                              “El  
                                                                               
Si  ,  tal que  .

¿Verdaderamente estamos resolviendo un problema de aprendizaje?»

   Una interpretación de lo anterior, se puede sintetizar como sigue. Si los estu- diantes de enseñanza media confrontados ante estas cuestiones, expresan res- puestas intuitivas que tienen que ver con la idea de que el límite no es alcanzado, significa que su intuición como producto de su experiencia previa y edad intelec- tual, está aún dentro de los procesos del infinito potencial. Y por otra parte, que muchas respuestas contengan conceptos infinitesimales, entonces, ante este pa- norama: ¿Cuál sería la respuesta pedagógica para el aprendizaje del concepto de límite?
   En el libro de Carlos Imaz J.; Luis Moreno A. (2010), se ofrece una respuesta puntual y ampliada a esta cuestión, después de una discusión detallada sobre los problemas que entraña la enseñanza y aprendizaje del Cálculo vía límites, y ello confrontado al discurso del Cálculo Infinitesimal. Finalmente, proponen que para un Curso introductorio del Cálculo en el nivel medio superior y de acuerdo a las características intelectuales de estos estudiantes, es mucho más apropiado el mo- delo infinitesimal.
   Una ejemplificación de cómo operan la Derivada los discursos del Cálculo Infini- tesimal y vía límites, sobre funciones de prueba; por razones de espacio no se in- cluye aquí. De ser necesario y en su momento, esto sería considerado en la expo-  sición. Por otra parte, esta discusión aún en curso, sobre las valoraciones e inter- pretaciones de cuestionarios, experiencias y cambios curriculares de la enseñanza y aprendizaje del Cálculo en el bachillerato, tienen un efecto tal, que exigen una mejor precisión del objeto de investigación.

Conclusiones.
   (i). Debido a la suma de las dificultades, en particular, a la estructura lógica del objeto teórico: El Concepto de Límite, así como a las características intelectuales de los estudiantes del nivel medio superior; se perfila en forma plausible, el discur- so del Cálculo Infinitesimal como el más apropiado en la enseñanza ~aprendizaje de este nivel. Y la consecuente incorporación como discurso alternativo, en princi- pio, sin desaparecer el Cálculo vía límites. Para que, en base a sucesivas valora- ciones de experiencia en un período de tiempo planeado, en la práctica docente se tome una decisión justa y razonable. (ii). El punto anterior, exigiría el diseño e implementación de Programas de Formación Docente en el discurso del Cálculo Infinitesimal. (iii). Eventualmente, el estudio del discurso del Cálculo vía límites, se vería desplazado al nivel Superior. Y en este último, habría que analizar: Desde qué momento o grado se estudiaría, en cuáles carreras profesionales, los objeti- vos y justificaciones, los enfoques y Contenidos y su alcance teórico. (iv). Dentro de la enseñanza ~ aprendizaje del Concepto de Límite en su totalidad, es notoria la ausencia de una estrategia metodológica, que articule los enfoques y cristalice todos los conocimientos previos dirigidos a este concepto, y en general, a este dis- curso del Cálculo. Por lo que se requiere de un diseño metodológico al respecto.

Sobre términos y frases clave. Posteriormente, se elaborará un Glosario de tér- minos y de momento, sólo se desglosan algunos de ellos: “Noción, definición, con- cepto, infinito, infinito potencial, infinito actual, proceso infinito, situación límite, convergencia, divergencia, infinitésimo, modelo infinitesimal, lógica, estructura ló- gica, ciencia, ciencia matemática, metodología matemática, matemática educativa.

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