EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

5. Ejercicios de aplicación

1) Sea un fenómeno de estimulación de un individuo con varios centros receptores sensoriales.

La tasa media de llegadas de estímulos, cada diez minutos, es  = 8. La duración media de la percepción (procesamiento) es de cinco minutos.

Calcular para S (número de centros receptores sensoriales) = 5, 6 y 7, el número medio v de estímulos en la fila de espera y el tiempo medio de espera tf en la fila.

Solución

 = 8,  (tasa media de servicio o coeficiente de proporcionalidad) =

= 10/5 = 2,  = / = 8/2 = 4;

Para S = 5:

Aquí se tiene que: /S = 4/5 = 0’8 < 1 (intensidad de estimulación).

con:

De donde:

y

Para S = 6:

En este caso, la intensidad de estimulación será:

/S = 4/6 = 0’67 < 1;

con:

De donde:

y

Para S = 7:

En este caso, la intensidad de estimulación será:

/S = 4/7 = 0’57 < 1;

con:

De donde:

y entonces:

1) El tiempo medio de espera viene dado por la fórmula:

2) Calcular, en un fenómeno de estimulación, donde la tasa de procesamiento es proporcional al número de estímulos en el sistema, el número medio de estímulos en el sistema psicológico, sabiendo que la tasa de llegada de los mismos es  = 6 y el coeficiente de proporcionalidad  = 2.

3) En un S. psicológico el número de estímulos que se presentan por hora es de 20 y el tiempo necesario para procesar la información y emitir una respuesta es de 6 minutos por estímulo. Se admite que las llegadas constituyen un proceso de Poisson y que la duración del proceso es del tipo exponencial.

1) ¿Cuántos centros receptores sensoriales son suficientes para evitar cualquier atascamiento en la recepción de estímulos?

2) Se considera un Sistema Psicológico que procesa la información y emite respuesta de modo proporcional al número de estímulos. ¿Cuál es en este caso la probabilidad pn de que haya n estímulos en la fila? ¿Y el número medio de estímulos en el sistema?

3) El número de centros receptores sensoriales, proporcional al número de estímulos, se limita a 4. ¿Cuál es la probabilidad de que deba entrar en acción otro centro receptor sensorial?

Solución

1) Se tiene  = 20,  = 10,  = / = 2.

Se necesitan, por consiguiente, más de dos centros receptores sensoriales para evitar el atascamiento del sistema.

2) De una manera general, se tiene:

Pero aquí:

n =  , n = n•

de dónde:

Se obtiene:

Aquí:

La condición necesaria de convergencia de esta serie numérica exigiría que:

veamos que ello se cumple por la aplicación de la fórmula de Stirling, en que:

En nuestro caso, se tiene:

En todo caso, dicha circunstancia viene demostrada por aplicación del criterio de d’Alembert o del cociente, puesto que para un término general de la serie numérica: , se tiene que:

lo que confirma el carácter convergente de la serie que nos ocupa.

Dicha convergencia también queda corroborada por aplicación del primer criterio de Cauchy (“criterio de la raíz”), puesto que:

En cualquier caso, para la resolución del límite anterior del denominador de la segunda fracción, también resulta aplicable el criterio de Stolz de la raíz, al tratarse de una indeterminación del tipo ∞0. Efectivamente, se tiene que:

, luego:

, y la serie es CONVERGENTE, tal como se pretendía demostrar.

Resultan, pues, las siguientes probabilidades:

p0 = 0’135 p3 = 0’180 p6 = 0’012

p1 = 0’271 p4 = 0’090 p7 = 0’003

p2 = 0’271 p5 = 0’036 p8 = 0’001

con la siguiente representación gráfica:

Es fácil comprobar, según la expresión:

,

que, en el equilibrio, se tiene un proceso de Poisson tal que: .

Por otra parte, con los cálculos ya efectuados, se cumple que:

y el número medio de estímulos en el sistema, será:

, puesto que:

= p1 + 2p2 + 3p3 + 4p4 + 5p5 + 6p6 + 7p7 + 8p8 = 1’994.

Dicho número no es más que la suma de la serie:

3) La probabilidad de que deba entrar en acción otro centro receptor sensorial del Sistema Psicológico, será:

5’3%

 p5 + p6 + p7 + p8 + ... = 0’052 + ...

4) Consideremos ahora un sistema continuo con dos estados (c.r.s. desocupado, c.r.s. ocupado), en donde la tasa poissoniana de llegadas de los estímulos al único centro receptor sensorial (c.r.s.) es  y la tasa exponencial de procesamiento, . Si una llegada tiene lugar mientras se está procesando la respuesta, aquélla se pierde, si no, la respuesta al nuevo estímulo comienza inmediatamente.

Estudiar el establecimiento del régimen permanente.

Indicación. – Se podrá utilizar para la resolución la transformación de Carson-Laplace.

Recordatorio. – Sea pij la probabilidad de transición del estado i al estado j durante el tiempo elemental dt. Si M es el número de estados del sistema y pi(t) la probabilidad de que el sistema ocupe el estado i en el tiempo t, se tiene que :

,

siendo ij el símbolo de Krönecker (igual a 1 cuando y solamente cuando i = j, e igual a 0 en todos los demás casos).

Se tiene:

de dónde:

siendo aij los elementos de la matriz diferencial A, tal que:

Se tiene, pues:

Consideremos ahora la transformación de Carson-Laplace (*) de la función f(t), a saber:

se tiene:

Luego:

y

L • P (t) • A = II (p) • A

si A no depende de t. De donde:

p • II (p) – p • P (0) = II (p) • A.

II (p) p•1 – A = p• P (0)

y entonces:

II (p) = p • P (0) p • 1 – A-1 .

Solución

a) En efecto, según el enunciado del problema hay dos estados: c.r.s. desocupado y c.r.s. ocupado. La tasa poissoniana de las llegadas es  y la tasa exponencial del servicio es .

Se tiene:

A =

y

II (p) = p • P (0)

Resultando, para efectuar el cálculo de la matriz inversa, que:

Y el valor del determinante:  = (p + ) • (p + ) – • = p (p +  + ) ,

de donde:

Y haciendo operaciones, se tiene que:

Se sustituye en una tabla de transformaciones inversas:

;

de donde, por ejemplo:

Así, en nuestro caso quedará la matriz:

Se ve que, cuando t  , P (t) tiende hacia:

= [1, 2]

, siendo el vector de estado: P(0) = [1,0].

b) Otro método de resolución más resumido conduce a:

.

Si el régimen es permanente d/dt • P(t) = 0, de donde P(t) • A = 0. Resultando que:

–  • 1 +  • 2 = 0 , o lo que es lo mismo:

 • 1 –  • 2 = 0 ,

con:

1 + 2 = 1.

De hecho, pues, se trata de resolver el sistema no homogéneo (heterogéneo) de dos ecuaciones con dos incógnitas, compatible y determinado, siguiente:

 • 1 –  • 2 = 0

1 + 2 = 1

Por aplicación de la regla de Cramer, se tiene:

,

de dónde:

.

, cuyos resultados coinciden obviamente con los obtenidos por aplicación del método resolutivo indicado en el apartado anterior a).

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(*) La transformada de Laplace (1780), que es un operador lineal como tendremos ocasión de comprobar seguidamente, toma su nombre en honor del gran matemático francés Pierre-Simon Laplace (1749-1827). Dicha transformación supone, genéricamente, que y(x) es una función continua en todo el semieje OX positivo, y supongamos ahora que su producto por e-px sea integrable entre 0 e ∞ en un cierto campo de p. Pues bien, la función F del parámetro p que esta integral define en tal campo:

se llama transformada Laplace de y(x), mientras que la función y se llamará generatriz Laplace de F, y escribiremos:

F(p) = Ly(x) ; y(x) = L-1F(p)

Ambas transformaciones, directa e inversa, son operaciones lineales, es decir:

I. Son distributivas en relación a la adición:

L y1+y2 = Ly1 + Ly2 , y por tanto: L-1F1+F2 = L-1F1 + L-1F2

II. Son permutables con un factor independiente de la variable:

Lay = a•Ly ; L-1aF = a•L-1F

Transformada de una derivada. La propiedad más interesante para las aplicaciones subsiguientes es que: Al DERIVAR la función y(x) la transformada Laplace queda MULTIPLICADA por su variable p y disminuida en y(0). Es decir:

Si Ly(x) = F(p) es Ly’(x) = p•Fy - y(0) = p•F(p) – y(0) (1)

Claro es que se supone que y’(x) sigue cumpliendo las condiciones de integrabilidad exigidas a y(x). En este supuesto resulta, en efecto,

pues la integrabilidad de la función subintegral e-px•y(x) entre los límites 0 e  exige la anulación de esta función para x .

La aplicación reiterada de la expresión anterior (1) nos dará:

La transformada de la derivada enésima de una función (supuesta existente) es igual al producto de la transformada de esta función por pn menos un polinomio en p de grado n-1 cuyos coeficientes, ordenados según las potencias decrecientes de p, son los valores iniciales y(0), y’(0), ..., yn-1(0) de la función y de sus n-1 primeras derivadas. Es decir:

Ly(n)(x) = pnF(p) – pn-1y(0) – pn-2y’(0) – ... – p•y(n-2)(0) – y(n-1)(0)

Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la pueden hacer útil en el análisis de sistemas lineales en Psicología. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y la derivación en el Cálculo Infinitesimal clásico se convierten fácilmente en multiplicación y división. Ello transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más sencillas de resolver.

Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente de resolución mucho más sencilla. Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe, sin embargo, la transformada de Laplace bilateral.

La transformada de Laplace está estrechamente relacionada con la Transformada de Fourier y la Transformada Z. La transformada de Laplace es, de hecho, una generalización de la Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo. Aunque las transformadas de Laplace rara vez se resuelven mediante integración si no por medio de tablas y el uso de computadoras (por ejemplo Matlab) como veremos más adelante. Esto define la transformada de Laplace y su inversa. Nótense las similitudes existentes entre la transformada de Laplace y su inversa. Esto nos ofrecerá, como resultado, muchas de las simetrías encontradas en el análisis de Fourier.

Para resolver las Transformadas de Laplace se pueden emplear diversos métodos, a saber:

a) Resolviendo la Integral

Probablemente, el método más difícil y menos usado para encontrar la Transformada de Laplace es resolviendo directamente la integral. Aunque es técnicamente posible hacerlo así, también es extremadamente consumidor de tiempo, dada la facilidad de los siguientes dos métodos para encontrarla. Las integrales están sobretodo para entender conceptualmente la teoría y de donde se originan los siguientes métodos resolutivos.

b) Usando una Computadora

El uso de una computadora para encontrar la transformada de Laplace es relativamente sencillo. Matlab, por ejemplo, tiene dos funciones, laplace e ilaplace, y las dos forman parte de las librerías simbólicas, con lo que encontraremos la transformada de Laplace y su inversa, respectivamente. Este método resulta preferido generalmente para funciones más complicadas. Funciones más sencillas e ideales usualmente se resuelven con mayor rapidez mediante el empleo de tablas.

c) Usando Tablas

Cuando se aprende por primera vez la transformada de Laplace, las tablas son, sin duda, la forma más común para encontrarla. Con suficiente práctica, no obstante, las tablas se hacen innecesarias. La gran parte del diseño de aplicaciones empieza en el dominio de Laplace y dan como resultado una solución en el dominio del tiempo.