EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

2.2.3. Índice de concentración de Lorenz

A mayor abundamiento, desarrollaremos el cálculo de este nuevo índice desde el mismo diagrama o curva que hemos propuesto anteriormente. Tal como se ha venido considerando, se obtendrán siempre curvas cóncavas hacia las y positivas, y que se hallan situadas por debajo de la diagonal del cuadrado que pasa por el origen de coordenadas y por el punto (100,100).

Así pues, tendremos:

(1) ,

donde a es la media aritmética de los porcentajes de los CI de los diferentes individuos correspondientes a cada intervalo de clase, o sea:

(en nuestro caso, como se verá posteriormente, se tiene: n = 8).

De esta manera, se cumplirá también que:

q1 = X1

q2 = X1 + X2

q3 = X1 + X2 +X3

……………………..

qn = X1 + X2 +...+ Xn

o sea:

que es justamente el criterio que hemos seguido para la elaboración de la tabla correspondiente. Debe tenerse bien presente que, en este caso, la ordenación de los valores de las Xi es preciso realizarla de menor a mayor.

Desarrollando la expresión anterior (1), obtendremos:

ya que: 1 + 2 + ... + (n-1) = n•(n-1)/2 , dado que se trata de la adición de los (n-1) primeros términos consecutivos de una progresión aritmética de razón igual a la unidad (demostrable por inducción completa), y además: n•a = qn, por la propia definición que hemos considerado de la media aritmética a.

Veamos, entonces, los valores que adopta este nuevo índice en los casos extremos posibles. Efectivamente, si la concentración del CI es máxima, tendremos que:

dado que: .

Sin embargo, si la concentración del CI es mínima, o sea, la distribución de la misma variable psicológica es teóricamente perfecta desde el punto de vista estadístico (no necesariamente debe suceder esto en la realidad, sino más bien acontecerá muy raramente, habida cuenta de las diferencias existentes entre los individuos de cualquier colectivo por lo que se refiere al comportamiento de sus variables psicológicas), se tendrá lo siguiente:

X1 = X2 = ... = Xn = a,

en cuyo caso, el índice de concentración de Lorenz será:

De hecho, estos valores extremos del índice analizado se corresponden con similares valores del índice de Gini anteriormente estudiado. Podemos ver que, cuando: L = 0 (X1=X2=...=Xn=a), sucede justamente que: qn= n•a, razón por la cual la curva pertinente es el segmento recto coincidente con la diagonal del cuadrado al que nos hemos referido con anterioridad. En el caso de la concentración máxima, resulta: L = 1 (X1=X2=...=Xn-1=0), y la curva poligonal de Lorenz, que constituye un triángulo rectángulo, viene dada por los dos lados normales o perpendiculares del cuadrado construido al objeto de trazar el diagrama en cuestión. Obviamente, cuanto más se aproxime la curva a la diagonal relacionada, más perfecta será -al menos desde el punto de vista estadístico- la distribución de la variable psicológica en estudio. Incluso podemos dar una interpretación geométrica del índice de Lorenz de esta manera: el numerador de la fórmula (1) se puede considerar como la adición de las áreas de (n-1) rectángulos de base igual a la unidad y altura: (h•a - qh), *h *[1,2,...,(n-1)]. El denominador, en este caso, es la suma de las áreas de (n-1) rectángulos de base unidad y altura: h•a, *h *[1,2,...,(n-1)]. Si observamos lo que representa la suma de estos rectángulos, deduciremos que el numerador de la expresión (1) es el área comprendida entre la curva poligonal de Lorenz y la diagonal del cuadrado, mientras que el denominador es precisamente el área de la mitad de dicho cuadrado .

Este índice es equivalente al anteriormente estudiado de Gini y obliga a la realización del cálculo de la superficie rayada de la figura, comprendida entre la diagonal y la correspondiente curva o poligonal de Lorenz. Un valor aproximado es el que se obtiene mediante la aplicación de la fórmula basada en los porcentajes acumulados, que resulta muy empleada en los trabajos prácticos. En nuestro caso, como se verá posteriormente, la fórmula (1) tomará la configuración simplificada (con n = 8 y qn = 100):