EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

II. SEGUNDO PROBLEMA

El presente ejercicio está adaptado del libro clásico de Murray R. Spiegel titulado “Teoría y problemas de Estadística”. Ed. McGraw-Hill. México, 1969, citado en la bibliografía.

La tabla de la figura siguiente A-2.13. muestra las marcas de clase y las frecuencias simples del cociente de inteligencia (CI) de 480 alumnos de una cierta escuela elemental, obtenido mediante un test WISC (Wechsler Intelligence Scale for Children). Se trata de hallar: (a) las medias aritmética y cuadrática. (b) la desviación típica o “standard” y la varianza mediante los métodos clave. (c) los coeficientes de uniformidad psicológica. (d) Otras medidas centrales y de dispersión de la variable psicológica. (e) Comprobación Charlier y corrección Sheppard de los apartados anteriores (a) y (b). (f) porcentaje de estudiantes del problema cuyos cocientes de inteligencia caen dentro de los intervalos: (g) Convertir los CI en referencias tipificadas y construir un gráfico de frecuencias relativas de la variable normalizada. (h) Hallar los momentos para los datos agrupados, aplicando la comprobación Charlier y la corrección Sheppard. (i) Calcular la asimetría y la curtosis de esta distribución, aplicando las correspondientes correcciones Sheppard.

Marcas de clase (Xi) 70 74 78 82 86 90 94 98 102 106 110 114 118 122 126

Frecuencias (f) 4 9 16 28 45 66 85 72 54 38 27 18 11 5 2

FIG. A-2.13. Marcas de clase y frecuencias simples

Solución:

El cociente de inteligencia, como se sabe, viene dado por: (C.I.) = edad mental/edad cronológica, y está expresado como porcentaje. Por ejemplo, un niño de 8 años que, de acuerdo con ciertos procedimientos poblacionales tiene una mentalidad equivalente a la de un niño de 10 años, tendrá un C.I. = 10/8 = 1’25 = 125% o simplemente 125, puesto que el porcentaje se sobreentiende.

Por lo que se refiere al número de clases, en este caso, y en base a la fórmula de Sturgess, deberían haberse considerado, orientativamente:

k = 1 + 3’3 • log10 480 = 9’85  10 clases,

habiendo considerado, sin embargo, k = 15 clases.

Para hallar cómodamente la media aritmética y la desviación típica de los cocientes de inteligencia, el trabajo puede ordenarse como indica la tabla de la figura siguiente:

Conociendo los valores de la media aritmética y la desviación típica, también podríamos intentar el ajuste de la variable psicológica CI a una distribución normal. En este caso, la distribución teórica de los cocientes intelectuales de los alumnos constituyentes del colectivo analizado vendría dada por la función de densidad normal:

aunque habría que comprobar la bondad de dicho ajuste mediante el empleo del test 2, tal como hemos realizado en el ejercicio anterior.

(c) El recorrido o rango entre los valores extremos de la variable psicológica de esta distribución de frecuencias vendrá dado por: R = 128 – 68 = 60, y el recorrido relativo será:

R’ = = 60/95’97 = 0’625, con un coeficiente de apertura de:

Cap = x15/x1 = 126/70 = 1’8,

mientras que el coeficiente de variación de Pearson, será:

Obsérvese que, en este caso, al configurar la tabla de la figura A-2.14 hemos ampliado el rango o recorrido artificiosamente, resultando en todos los casos intervalos de clase de la misma amplitud (ci = 4), incluyendo los intervalos extremos. De hecho, el recorrido o rango existente entre las marcas de clase extremas vendría dado por:

R = 126 – 70 = 56, y el recorrido relativo valdría, entonces:

R’ = R / = 56 / 95’97 = 0’584.

En este segundo ejemplo, como puede observarse, la dispersión de los CI por el colectivo analizado resulta mayor que en el caso anterior, por lo que la medida de la “uniformidad psicológica” será menor, así:

CU1 = 100 (1 – CV) = 100 (1 – 0’1091) = 89’09%

CU2 = 100 (1 – 0’68 • CV) = 100 (1 – 0’68 • 0’1091) = 92’58%

CU3 = 100 (1 – 1’27 • CV) = 100 (1 – 1’27 • 0’1091) = 86’14%

CU4 = 100 (1 – 0’80 • CV) = 100 (1 – 0’80 • 0’1091) = 91’27%

Veamos, por último, que el “coeficiente de uniformidad psicológica medio” ofrecerá un valor de:

= 100 (1 – 0’92 • CV) = 100 (1 – 0’92 • 0’1091) = 89’96%

La representación gráfica de los valores de los diferentes coeficientes de uniformidad hallados, a los que hemos añadido el CU5 que se calcula más adelante, en definitiva, será la siguiente:

(d) Como la frecuencia absoluta acumulada ascendente Ni = 480/2 = 240 se encuentra en el intervalo de clase 92-96, en él se encuentra también la mediana o segundo cuartil de esta distribución de frecuencias, con lo que:

Me = Q2 = • 4 = 95’39 .

Las medias que venimos estudiando (aritmética, geométrica, cuadrática y armónica) constituyen medidas de posición central que representan el conjunto de valores observados de la distribución psicológica, equilibrando los más elevados, los intermedios y los más bajos, ya que en su cómputo intervienen todos ellos. El problema que tienen estas medias es que resultan sensibles a los valores extremos y cuando existe mucha dispersión son poco representativas del conjunto de observaciones; de ahí la conveniencia de calcular también la mediana que, en vez de equilibrar los valores de la variable psicológica analizada para determinar el centro de gravedad de la distribución, equilibra las frecuencias observadas a ambos lados de la misma.

Desde el punto de vista geométrico, la mediana es el valor de la abscisa (X) que corresponde a la vertical u ordenada (Y) que divide la representación gráfica de la función de densidad en dos partes de igual área, dejando a su izquierda el mismo número de frecuencias que a su derecha. Este promedio señala también el punto de intersección de los diagramas acumulativos ascendente y descendente, que se deducen de la tabla inicial del problema, como puede verse a continuación:

Del mismo modo se tendrá:

-Primer cuartil: Q1 = • 4 = 89’09

-Tercer cuartil: Q3 = • 4 = 102’59

Es decir, entre el alumnado analizado, la mitad tiene un CI inferior a 95’39, la cuarta parte un CI inferior a 89’09, y el intervalo 89’09  CI  102’59 comprende el 50% de los alumnos.

Con todo ello, también, definiremos los siguientes parámetros:

- Moda: Mo = • 4 = 94’09

-Recorrido intercuartílico: Q3 – Q1 = 102’59 – 89’09 = 13’5

-Recorrido semi-intercuartílico:

= 0’07, y también:

CU5 = = 0’9319 = 93’19%.

(e) Comprobación Charlier y corrección Sheppard

Mediante la comprobación Charlier, se verifican los cálculos de (a) la media aritmética y (b) la desviación típica del problema que nos ocupa.

Para hacer la comprobación pedida, se añaden las columnas de la tabla de la figura A-2.17 a las de la tabla de la figura A-2.14, con la excepción de la columna 2 que se repite aquí por conveniencia.

Comprobación de (a):

 f(u + 1) = 716, de la tabla de la figura A-2.17.

 fu + N = 236 + 480 = 716 de la tabla de la figura A-2.14.

Esto suministra la comprobación de la media aritmética.

Comprobación de (b):

 f(u + 1)2 = 4.356, de la tabla de la figura A-2.17.

 fu2 + 2fu + N = 3.404 + 2(236) + 480 = 4.356 de la tabla de la figura A-2.14.

Esto suministra la comprobación de la desviación típica o standard.

Comprobación Sheppard para la varianza:

s2 = 109’60, c = 4. Varianza corregida = s2 – (c2/12) = 109’60 – (42/12) = 108’27.

Desviación típica corregida =

(f) Mediante el empleo de las propiedades de la desviación típica, se trata de determinar el porcentaje de estudiantes del problema cuyos cocientes de inteligencia caigan dentro de los intervalos:

(1) da un intervalo de 85’5 a 106’4.

El número de cocientes de inteligencia en este intervalo es:

Porcentaje pedido: (339/480) x 100 = 70’6%.

(2) da el intervalo de 75’0 a 116’9.

El número de cocientes de inteligencia en este intervalo es:

Porcentaje pedido: (451/480) x 100 = 94’0%.

(3) da el intervalo de 64’6 a 127’4.

El número de cocientes de inteligencia en este intervalo es:

Porcentaje pedido: (479’7/480) x 100 = 99’9% o prácticamente 100%.

Los porcentajes obtenidos de (1), (2) y (3) están bastante de acuerdo con aquellos que cabría esperarse de una distribución normal para los mismos intervalos, es decir, 68’27%, 95’45% y 99’73%, respectivamente, tal como hemos visto en el anexo nº: 1.

Adviértase que no se ha empleado la corrección Sheppard efectuada anteriormente para la desviación típica. Si se emplease en este caso los resultados aún se acercarían más a los esperados. También estos resultados pueden obtenerse mediante la tabla de la figura A-2.18.

(g) Se trata ahora de convertir los C.I. en referencias tipificadas y construir un gráfico de frecuencias relativas de la variable normalizada.

El trabajo de conversión en referencias tipificadas puede ordenarse tal como se indica en la tabla de la FIG. A-2.18. En esta tabla se han añadido, para utilizar posteriormente, las marcas de clase de C.I. 66 y 130 que tienen frecuencia cero.

Tampoco se ha utilizado la corrección Sheppard para la desviación típica. Las referencias corregidas en este caso son prácticamente las mismas que las dadas aquí para la precisión indicada, teniendo en cuenta que, para simplificar los cálculos: ≈ 96’0, s ≈ 10’5.

La tabla resultante es la siguiente:

El gráfico de frecuencias relativas de la variable normalizada z (polígono de frecuencias relativas) se muestra en la figura siguiente A-2.19. El eje horizontal o de abscisas se mide en unidades de desviación típica s. Adviértase que la distribución que nos ocupa es moderadamente asimétrica y ligeramente sesgada a la derecha. En efecto:

(h) Se pide, ahora, hallar: (a) m1’, (b) m2’, (c) m3’, (d) m4’, (e) m1, (f) m2, (g) m3, (h) m4, (i) , (j) s, (k) y (l) para la distribución de nuestro problema.

Los momentos potenciales pedidos son medidas obtenidas a partir de todos los datos de una variable estadística psicológica y sus frecuencias absolutas. Estas medidas caracterizan a las distribuciones de frecuencias de tal forma que si los momentos coinciden en dos distribuciones, diremos que son iguales, siendo tanto más semejantes cuanto mayor sea el número de momentos que coinciden.

Para ello, elaboraremos la siguiente tabla:

Los momentos ordinarios son los siguientes:

(a) m1’ = ≈ (95’97 – 94)

(b) m2’ =

(c) m3’ =

(d) m4’ =

Los momentos respecto a la media aritmética o centrales, son los siguientes:

(e) m1 = 0, por la 1ª propiedad de la media aritmética

(f) m2 = m2’ – m1’2 = 113’4667 – (1’9667)2 = 109’5988 ≈ 109’60 (varianza sin corregir)

(g) m3 = m3’ – 3m1’m2’ + 2m1’3 = 857’0667 – 3(1’9667)(113’4667) + 2(1’9667)3 = 202’8158

(h) m4 = m4’ – 4m1’m3’ + 6m1’2m2’ – 3m1’4 = 35.627’2853

El resto de especificaciones es el siguiente:

(i)

(j) s = = 10’47 (sin corregir)

(k)

con cuatro cifras significativas.

(l)

con seis cifras significativas.

Por otra parte, la comprobación Charlier, en el cálculo de momentos por el método clave, utiliza las siguientes identidades:

 f(u +1) = fu + N

 f(u +1)2 = fu2 + 2fu + N

 f(u +1)3 = fu3 + 3fu2 + 3fu + N

 f(u +1)4 = fu4 + 4fu3 + 6fu2 + 4fu + N

Para realizar la comprobación pedida añadimos las siguientes columnas a las del problema que nos ocupa, con la excepción de la columna 2, que se repite aquí por conveniencia. Así:

En cada uno de los siguientes grupos, la primera y la segunda igualdades se sacan de las tablas anteriormente elaboradas. La igualdad de los resultados de cada una suministra la comprobación pedida. Esto es:

Por otra parte, la correspondiente corrección Sheppard ofrece (los momentos m1 y m3 no necesitan corrección):

m2 corregido = m2 – c2/12 = 109’5988 – 42/12 = 108’2655 = s2 (varianza corregida). Con ello, también, s = (108’2655)½ = 10’405 ≈ 10’41 (desviación típica corregida)

m4 corregido = m4 – (½)c2m2 + (7/240) c4 =

= 35.627’2853 – ½(4)2(109’5988) + (7/240)•(4)4 = =34.757’9616

(i)

Por lo que se refiere a las restantes características de la distribución de la variable psicológica CI, veamos que una de la asimetría o sesgo la constituye el “primer coeficiente de asimetría de Pearson”, o sea:

= 0’18 ,

luego se trata de una distribución prácticamente simétrica.

También podríamos calcular aquí, con los datos de que se dispone, el “segundo coeficiente de asimetría de Pearson”, o sea:

= 0’166 ,

o bien el “coeficiente de sesgo cuartílico”, de valor:

= 0’067 ,

cuyos resultados conducen, en todos los casos, a conclusiones similares. Cabe observar, no obstante, una ligera asimetría o sesgo hacia la derecha (positivamente) puesto que: P1 > 0, P2 > 0 y además:

= 95’97 > Me = 95’39 > Mo = 94’09

Por otra parte, el “coeficiente de sesgo” de Fisher o “coeficiente directo de asimetría” vendrá dado por:

0’1768 ó 0’18.

Si se utilizan las correcciones Sheppard, se tiene:

g1 corregido = 0’1800 ó 0’18

, con lo cual, la diferencia obtenida resulta inapreciable.

Adviértase que se trata de una distribución moderadamente sesgada a la derecha (positivamente), tal como ya se ha dicho.

Por lo que se refiere al apuntamiento o curtosis, veamos que:

a4 = 2’9660  2’97 ; g2 = a4 – 3 = -0’03.

Si se aplican las correcciones Sheppard, ya explicitadas con anterioridad, se tiene:

a4 corregido = 2’9653  2’97 ;

Puesto que para una distribución perfectamente normal se cumple que: a4 = 3, se deduce que esta distribución es ligeramente platicúrtica o achatada con respecto a la distribución normal, es decir, de menor apuntamiento que ésta.