EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

III. TERCER PROBLEMA

Los tres ejercicios que siguen, como aplicaciones de la distribución de probabilidad hipergeométrica a los problemas psicológicos, están adaptados del libro de José M. Casas Sánchez y Julián Santos Peñas titulado “Introducción a la Estadística para Economía y Administración de Empresas”, Ed. Centro de Estudios Ramón Areces, S.A., Madrid, 1995, citado en la bibliografía.

a) Se sabe, por experiencia, que un grupo de 100 inmigrantes contiene un 10% de individuos sospechosos. El control fronterizo decide investigar dos individuos aleatoriamente, y si ninguno de las dos presenta problemas, entonces acepta el grupo. Definimos la variable aleatoria X como el número de individuos sospechosos en una selección aleatoria de dos de ellos. Obtener la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X, así como la función de distribución.

Solución:

El experimento aleatorio de selección de dos inmigrantes al azar define los sucesos elementales siguientes:

L1: Primer individuo sospechoso.

L2: Segundo individuo sospechoso.

: Primer individuo no sospechoso.

: Segundo individuo no sospechoso.

Al considerar la selección conjunta de los dos individuos, el espacio muestral generado por este experimento aleatorio contiene cuatro sucesos mutuamente excluyentes y forman un sistema completo de sucesos.

En la tabla de la figura siguiente aparecen los sucesos elementales del espacio muestral, las correspondientes probabilidades y los valores que puede tomar la variable aleatoria X. Así:

Las probabilidades para cada suceso, según la regla de multiplicación de probabilidades o probabilidad compuesta, serían:

Y consecuentemente las probabilidades con que la variable aleatoria X toma sus diferentes valores serían:

P1 = P(X = 0) = P(0) = 0’8091

P2 = P(X = 1) = P(1) = 0’0909 + 0’0909 = 0’1818

P3 = P(X = 2) = P(2) = 0’0091

La probabilidad de que el control acepte el grupo de los 100 inmigrantes será:

P(X = 0) = P(0) = 0’8091

La distribución de probabilidad P(x), de la variable aleatoria X aparece en la tabla de la figura A-2.23, en donde aparecen los diferentes valores “x” de la variable aleatoria y sus probabilidades P(x).

Ya que los cuatro sucesos del experimento forman un conjunto mutuamente excluyente y exhaustivo de sucesos, las probabilidades correspondientes a estos sucesos suman la unidad.

De hecho, la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta se puede expresar de tres maneras:

- Tabular.

- Algebraica o funcional.

- Gráfica.

La forma tabular consiste en expresar en forma de tabla una lista de los valores posibles de la variable aleatoria X y las correspondientes probabilidades P(x), como aparece en la tabla de la figura anterior A-2.23.

La forma algebraica o funcional se presentan cuando es posible escribir una función en la forma de una ecuación, de tal manera que para cada valor de la variable aleatoria se pueda obtener su probabilidad. Así pues, para el ejemplo a) que estamos tratando, la forma funcional de la distribución de probabilidad sería :

Otra forma de presentar la función de probabilidad sería mediante un gráfico o diagrama de barras, en el que sobre el eje de abscisas llevaríamos los diferentes valores x, de la variable aleatoria X y sobre el eje de ordenadas, las probabilidades P(x). Así pues, para este ejemplo a) tendríamos la figura siguiente A-2.24:

Llegados a este punto, una consideración importante sobre variables aleatorias discretas y sus distribuciones a realizar es la siguiente: si X es una variable aleatoria discreta y deseamos determinar la probabilidad de que X sea mayor o igual que un cierto valor que un cierto valor a y menor o igual que un valor b, siendo a  b, solamente tenemos que sumar las probabilidades correspondientes a los valores de X comprendidos entre a y b; es decir:

Así pues, para el presente ejemplo, se tiene:

Sea ahora una variable aleatoria X de tipo discreto que toma un número finito o infinito numerable de valores x1, x2, ..., xr y cuya distribución de probabilidad es P(x). Se define la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X, que notaremos por F(x), como la probabilidad de que la variable aleatoria X tome valores menores o iguales que x, es decir:

y representa la suma de las probabilidades puntuales, hasta el valor x inclusive, de la variable aleatoria X.

Para el ejemplo que nos ocupa, la función de distribución F(x) viene dada en la tabla de la figura siguiente.

Así pues la función de distribución, para cualquier valor de x, quedaría de la siguiente forma:

Se deduce, de la propia definición, que la función de distribución de una variable aleatoria discreta es una función no decreciente de los valores que toma la variable aleatoria y tal que verifica:

Vemos pues que una variable aleatoria discreta X, está caracterizada por su función de probabilidad o distribución de probabilidad P(x) y también por su función de distribución F(x).

b) Una determinada empresa quiere aumentar su plantilla de vendedores en 20 personas, para lo que inserta un anuncio en prensa y se presentan 40 personas al proceso de selección. Determinar la probabilidad de que, después de realizar todas las pruebas psicotécnicas de selección y haber seleccionado, por diferentes mecanismos, a las 20 personas solicitadas, entre ellas se encuentren las 10 mejores de las 40 personas que se presentaron.

Solución:

Sea la variable aleatoria X:

X: número de los mejores vendedores entre los 20 seleccionados.

La variable aleatoria X se distribuye según una distribución hipergeométrica, H(N, N1, n), con:

N = 40 , N1 = 10 y n = 20

Luego teniendo en cuenta la expresión de la correspondiente función de densidad, la probabilidad que nos piden será:

 0’22‰

que resulta ser francamente baja.

c) Entre los 60 aspirantes a unas plazas de educadores sociales en la Administración autonómica, 40 son mujeres. Si seleccionamos una muestra aleatoria, sin reemplazamiento, de 20 aspirantes, obtener la probabilidad de que 10 sean mujeres.

Solución:

Sea la variable aleatoria X.

X: número de mujeres seleccionadas en la muestra de 20 aspirantes.

Esta variable aleatoria X se distribuye según una distribución hipergeométrica H(N, N1, n), con:

N = 60 , N1 = 40 , n = 20

Teniendo en cuenta la expresión de la correspondiente función de densidad, podemos calcular la probabilidad que nos piden, que será, en este caso:

=

= 3’7%.

Las tablas que siguen también han sido extraídas del excelente libro de José M. Casas Sánchez y Julián Santos Peñas titulado “Introducción a la Estadística para Economía y Administración de Empresas”, Ed. Centro de Estudios Ramón Areces, S.A., Madrid, 1995, citado en la bibliografía.

Tablas de la función de probabilidad hipergeométrica

Esta tabla ofrece la probabilidad de obtener x elementos que pertenezcan a la primera subpoblación cuando se toma una muestra aleatoria sin reemplazamiento o reposición de tamaño n, de la población total. Esto es:

Tablas de la función de distribución hipergeométrica

La función de distribución hipergeométrica viene dada por:

En esta tabla tenemos los valores correspondientes a la función de distribución de una H(N, N1, n), para N  10, N1 8 y n  8, es decir: