EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA 
UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

Josep Maria Franquet i Bernis

Volver al índice

 

 

 

 

3. Ajustes a una distribución “gamma” y/o exponencial

3.1. Distribución “gamma”

Según el problema que se presente, sería posible buscar una distribución teórica de probabilidad más apropiada que la gaussiana anteriormente explicitada, como por ejemplo la distribución de probabilidad “gamma”, cuya variable psicológica x posee una función de densidad del tipo:

, siendo   > 0 y también  > 0.

De hecho, la cantidad () es un símbolo que representa el valor de la función “gamma” generalizada de Euler en el punto . Esta función, como ya se sabe, viene definida por la integral euleriana de 2ª especie:

( > 0)

Vamos, ahora, a demostrar que la media y la varianza de la distribución gamma están dadas por  = • y 2 = •2, respectivamente. En este caso, la función generatriz de momentos y la función característica están dadas, respectivamente, por:

M(t) = (1 - •t)- , y () = (1 - •i)-

Se tiene que:

Reemplazando (x/) = t, tenemos la media:

Por otra parte, reemplazando (x/) = t, tenemos lo siguiente:

ya que: (+2) = (+1)•(+1) = (+1)••(). Por tanto, la varianza buscada, será:

2 = E(X2)-2 = 2(+1)•-(•)2 = •2

Además, se demuestra fácilmente, integrando por partes, que:

( + 1) =  • ()

Si  es un número entero positivo (natural), esta relación de recurrencia ofrece el resultado factorial: ( + 1) = !, como comprobaremos más adelante, razón por la que a la función gamma se la llama, a veces, “función factorial”, siempre y cuando  sea un número natural (entero positivo).

Integrando por partes en la expresión:

u = x-1, dv = e-x •dx; du = (-1)•x-2 •dx, v = -e-x

se obtiene:

Reiterando el procedimiento:

() = (-1)•(-2)• ... •(-k)•(-k)

En el caso particular de que  sea un número natural (entero positivo), la aplicación de la expresión anterior conduce a:

() = (-1)! (  )

puesto que:

Una expresión que se presenta con frecuencia, es la que se obtiene mediante el cambio de variable: x = t2. En efecto:

El cambio x = m•t, conduce análogamente a:

Si ahora hacemos el cambio de variable: , diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigue una distribución gamma (*) de parámetros  y a, siendo , a  2 y  > 0 y a > 0, si su función de densidad es:

(1)

Abreviadamente lo indicaremos por:

X  (,a)

Veamos que la expresión (1) está bien definida y por tanto es una función de densidad. En efecto, para x > 0, f(x) es positiva; y además la integral de la función de densidad, en todo el campo de variación, es la unidad, para lo cual bastará con hacer el cambio de variable: a•x = y, en la expresión (1), y tendremos:

Una propiedad importante de la función de probabilidad gamma () es que:

Para  = ½, se obtiene: , de donde: .

Para valores grandes de  es posible la aplicación de la fórmula asintótica de Stirling, de gran aplicabilidad en el cálculo de límites, a saber:

La representación gráfica de varias distribuciones gamma se presenta en la figura siguiente, para diferentes valores de los parámetros  y a. Así:

FIG. A-1.17. Representación gráfica de la función de densidad de distribuciones (,a)

Como puede observarse, la función de densidad de la (,a) presenta una forma, para   1, que difiere de la forma que presenta para   1, pues para valores de  > 1 presenta los correspondientes máximos en los puntos:

lo cual se comprueba fácilmente sin más que buscar los máximos de la función de densidad.

Al parámetro  se le suele llamar parámetro forma y al parámetro a, parámetro escala.