EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA 
UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

Josep Maria Franquet i Bernis

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6.3. Teorías bifactorial y multifactorial

De hecho, el análisis factorial se fundamenta en dos observaciones bien definidas:

1- Las tablas de correlaciones entre los tests mentales tienden a ser “jerárquicas”, es decir, que sus columnas de coeficientes tendían a ser proporcionales.

2- Dichas tablas pueden considerarse como matrices algebraicas, viniendo indicada la proporcionalidad de sus columnas según una definición elemental del álgebra matricial: la “característica o rango” (orden del mayor menor complementario no nulo) de la matriz de correlaciones.

La observación anterior 1 dio lugar en su día a la llamada “teoría bifactorial”, a la que ya nos hemos referido en el capítulo 1 de este mismo libro; mientras que la 2, a la “teoría multifactorial”, que resulta ser una generalización de la anterior.

Contemplemos ahora, breve pero separadamente, ambas teorías:

1- TEORÍA BIFACTORIAL: El orden particular que se observa en las tablas de correlaciones entre tests mentales, está caracterizado por su casi general positividad así como su proporcionalidad. Ambos hechos conducen a la teoría de los dos factores debida a Spearman: el general “g” (que es común a todos los tests y explica las intercorrelaciones positivas y “jerarquizadas”) y el específico “S” (que resulta exclusivo e independiente de cada test y explica la imperfección de dichas intercorrelaciones).

Veamos la siguiente tabla de correlaciones entre los tests, xi / xi  x1, x2, ..., xn. Si suponemos que todas las correlaciones son debidas a un factor “g” común, tendremos, por hipótesis, que la correlación entre dos o más tests cualquiera de esta tabla será nula, una vez eliminada la influencia de “g”. Tomemos, para ello, las columnas referentes a los tests xn-1 y xn, y examinamos sus correlaciones con x1 y x2, por ejemplo obteniendo:

fórmula ésta que constituye la denominada “ecuación tetrádica”. A “F” (primer miembro de la ecuación) se le denomina “diferencia tetrádica”.

Por tanto, si la hipótesis susodicha es verdadera  F = 0; y al revés, se puede averiguar si aquella hipótesis es aplicable a las aptitudes de determinada tabla, comprobando que todas las diferencias tetrádicas sean nulas o tienden a cero. De cualquier modo, no puede esperarse, en la práctica, que todas aquellas diferencias sean nulas, puesto que se encuentran afectadas por los errores muestrales. Interesa comprobar, en consecuencia, si se alejan con valores estadísticamente significativos de cero, lo cual puede resolverse conociendo la desviación típica o standard σF de la diferencia tetrádica, y admitiéndose como nula F / F 5•σF.

De hecho, aunque exista siempre una jerarquización de los coeficientes, se ve perturbada por algunos tests. Dichas anomalías se producen en las baterías cuando hay dos o más tests similares, corriéndose el riesgo de que haya algo de común además de “g”: los factores “S” que haya entre ellos. En una batería así constituída, las diferencias tetrádicas son significativamente distintas de cero, quedando perturbada la jerarquía. Mediante la eliminación de tests demasiado parecidos o “perturbadores”, (dado que sus factores específicos se entrecruzaban y perturbaban la ordenación jerárquica), la batería queda “purificada”, con lo que las intercorrelaciones seguirán un orden jerárquico, las diferencias tetrádicas tenderían a cero y cada test de la batería podría comprenderse en función de “g” y en función de “S”.

Así pues, todo test “t”, ajustado al criterio de la jerarquía, puede expresarse en función de los factores “g” y “St”, como:

t = ag + bSt

o sea: un test “t” depende de “g” y de “St” en la proporción señalada por los coeficientes (denominados “saturaciones del test”) “a” y “b”, que expresan las correlaciones existentes entre el test y “g” y entre el test y “St”.

Otros experimentos factoriales conducen a la determinación de la existencia de los factores de grupo o comunes, cuya exposición debe ser obviamente omitida en esta obra por razones de oportunidad e interés.

2- TEORÍA MULTIFACTORIAL: se considera una tabla de correlaciones como una matriz, convirtiéndose la “ecuación tetrádica” en un determinante “menor de segundo orden”. Entonces: F = 0   menores de segundo orden de la matriz = 0 (1)  característica o rango de la matriz = 1   columnas de la matriz son proporcionales (con lo que sólo necesitamos un factor para explicar la correlación de un test cualquiera con los demás).

Si la condición (1) no se cumple (o sea, no se cumple la ecuación tetrádica) es porque las correlaciones reclaman tantos factores comunes como indique el rango de la matriz de correlaciones. Previamente, se han tenido que calcular los coeficientes de correlación entre los tests componentes de la batería. La determinación de aquellos factores comunes puede comprenderse asimilando los tests a vectores cuya longitud y posición vienen perfectamente determinadas por los datos iniciales del análisis correlacional. Estos vectores quedan definidos en un espacio bidimensional por el ángulo formado sobre el plano con ambos ejes de coordenadas cartesianas (o por el coseno de dicho ángulo), oscilante de 0º a 90º, de tal suerte que si el vector tiene la misma dirección que uno de estos ejes, tendremos que el coseno del ángulo nulo es igual a la unidad, del mismo modo que al ángulo de 90º corresponde un coseno igual a cero. Si estos cosenos son los índices de correlación, cuando el vector se identifique como uno de los ejes (que pueden ser ortogonales u oblicuos, según las exigencias) poseerá una correlación nula con el otro. El espacio definido por todos los vectores se denomina “configuración vectorial” y corresponde a la característica de la matriz, e indica el número de factores comunes necesarios para explicar las correlaciones.

Así, veamos el siguiente ejemplo:

Los ejes coordenados de esta estructura pueden ser ortogonales (rectangulares) u oblicuos, según lo exijan las propiedades de la configuración vectorial. En general, los factores cognoscitivos son oblicuos; este hecho viene a indicar que son dimensiones distintas de la conducta cognoscitiva del sistema psicológico, pero no independientes.

Veamos que los datos obtenidos mediante el análisis factorial pueden utilizarse con fines de simple condensación estadística o de investigación psicológica. Los factores extraídos con el primer fin son sólo meros índices matemáticos, pero para lograr el segundo fin, se confrontan hipótesis psicológicas (que podemos considerar verificadas si, a través del análisis, encontramos cierto orden en las correlaciones entre los tests) con datos matemáticos. La significación inmediata de los factores hallados, que son conceptos psicomatemáticos, es más bien de tipo estructural que causal: son instrumentos descriptivos de las dimensiones de variación de la conducta.

En general, y por último, observemos que las posibilidades del análisis factorial en psicología pueden agruparse así:

1- Comprobación experimental de hipótesis acerca de cualquier unidad funcional.

2- Exploración de nuevos campos de la conducta.

3- Suministro de una sólida base teórica a las aplicaciones de los tests mentales.

En definitiva, siguiendo a M. Yela veamos que el modelo del análisis factorial permite indagar las dimensiones fundamentales en que covaría la multiplicidad de variables que represente un determinado campo de la personalidad o de la conducta del sistema psicológico. En esencia, se basa en la siguiente ecuación fundamental, según la cual cada variable es función de un número de factores comunes y de un factor único:

Z = FX + UV

donde Z, X y V son vectores de “n” variables aleatorias, “r” factores comunes y “n” factores únicos, respectivamente, y F y U son matrices de coeficientes factoriales, de orden “n×r”, la primera, y “n”, la segunda, que es diagonal. Las variables están expresadas en valores típicos, esto es:

E(Z) = E(X) = E(V) = 0 (media aritmética o esperanza matemática)

E(Z2) = E(X2) = E(V2) = 1 (varianza)

Entonces, la correlación existente entre las variables, supuesta la independencia estadística entre los factores comunes y los únicos, es la siguiente:

RZZ = E(ZZ’) = E(FX + UV)(FX + UV)’ = FRXXF’ + U2

Se han elaborado diversos métodos para calcular F y RXX a partir de RZZ. Los resultados conducen a la conclusión de que la inteligencia de un S. psicológico, como muchos otros campos de covariación de la personalidad, es a la vez “una” y “múltiple”. “Una”, porque es un sistema, una estructura, un factor general. “Múltiple”, porque su unidad lo es de una multiplicidad de dimensiones ordenadas jerárquicamente en diversas aptitudes interdependientes que varían según la dotación genética, la experiencia individual y la cultura del sistema o individuo.