EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

CAPÍTULO 8. Aplicaciones de la Investigación Operativa (II).

Teoría de Colas o de los Fenómenos de Espera

1. Introducción

En el estudio del individuo como S., pueden considerarse, a mi juicio, las entradas de estímulos como llegadas de clientes en un fenómeno de espera, si presuponemos inicialmente una acumulación de ellos como resultado de una experiencia psicológica de carácter conductista o behaviorista.

2. Proceso de Poisson

Consideremos, para mayor generalidad, que dichas llegadas de estímulos se producen siguiendo un proceso poissoniano. En efecto, dados unos cambios de estado en un S. o individuo, se dirán que siguen los postulados de Poisson si se cumple que:

1- Los sucesos que conciernen a cambios en intervalos no solapados, son independientes.

2- La probabilidad de un número dado de cambios en un intervalo depende de la medida o longitud de este intervalo: , y no de su situación:

3-

4-

Consecuentemente, habrá que analizar, en cada caso, si realmente la experiencia psicológica en cuestión se adapta a los postulados anteriormente expresados, y, acto seguido, proceder a su estudio como tal proceso poissoniano, del modo que a continuación se expone.

En estadística y simulación, un Proceso de Poisson (también conocido como "Ley de los sucesos raros") es un proceso de sucesos independientes donde:

1. El número de sucesos en dos intervalos independientes siempre es independiente.

2. La probabilidad de que un suceso ocurra en un intervalo es proporcional a la longitud del intervalo.

3. La probabilidad de que ocurra más de un suceso en un intervalo suficientemente pequeño es despreciable (no se producirán sucesos simultáneos).

Para procesos homogéneos hay una densidad media λ. Eso significa que la media de los sucesos en un intervalo de tiempo t es λ/t. También existen procesos de Poisson no homogéneos.

El tiempo entre dos sucesos de un proceso de Poisson con intensidad media λ es una variable aleatoria de distribución exponencial con parámetro λ.

Se pueden modelar muchos fenómenos psicológicos como un proceso de Poisson. El número de sucesos en un intervalo de tiempo dado es una variable aleatoria de distribución de Poisson donde λ es la media de números de sucesos en este intervalo. El tiempo hasta que ocurre el suceso número k en un proceso de Poisson de intensidad λ es una variable aleatoria con distribución de probabilidad gamma o (lo que es lo mismo) con distribución de Erlang con θ = 1/λ.

Imaginemos, ahora, un S. psicológico o individuo en un determinado estado en el instante t, caracterizándose dicho estado por la llegada de un número k de estímulos, entre 0 y t. Suponiendo que la probabilidad de pasar del estado k al k + 1 entre t y t + dt es igual a •dt, siendo  constante y considerando despreciable la probabilidad, por tratarse de un infinitésimo (o infinitesimal) de orden superior, de pasar del estado k al k + 2.

Puede verse, al respecto, el esquema o figura siguiente:

Teniendo en cuenta lo anterior, determinemos ahora la probabilidad de que el sistema en cuestión se encuentre en el estado n en el momento t + dt.

Esta probabilidad es igual:

– a la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado n-1 en el momento t y que se produzca una llegada de estímulos entre t y t + dt;

– más la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado n en el momento t y que no se produzca ninguna llegada de estímulos entre t y t + dt.

Podemos escribir:

o bien, haciendo las operaciones pertinentes:

La solución de esta ecuación diferencial, que se puede resolver como lineal de primer orden, es:

siendo para t = 1: que es la expresión de la ley de Poisson.

La ley de Poisson define, pues, un proceso de llegadas de estímulos (por unidad de tiempo) que responde a las hipótesis anteriormente especificadas. Su media y su varianza son:

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Expresa la probabilidad de un número de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento.

La distribución de probabilidad de Poisson, que publicó, junto con su teoría de probabilidad, en 1838 en su trabajo titulado Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles), está dada por la expresión siguiente:

donde:

e es la base del logaritmo natural o neperiano (e = 2.7182818284...),

k! es el factorial de k,

k es el número de ocurrencias de un evento,

λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de Poisson con: λ = 10/4 = 2’5.

Por ejemplo, si el 2% de los individuos analizados de un cierto colectivo tienen la expresión escrita defectuosa, se desea obtener la probabilidad de que 5 de 400 individuos (el 1’25%) de dicho colectivo tengan su expresión escrita defectuosa.

Solución:

O sea, que la probabilidad buscada es del 9’2%. Si, por otra parte, como parecería natural, se buscase la probabilidad de que dicha expresión defectuosa la tuvieran 8 individuos del colectivo (el 2%), dicha probabilidad, con k = 8 y  = 8, sería prácticamente del 14%.

Pues bien, la probabilidad de que el intervalo que separa dos acontecimientos sucesivos sea superior a un determinado valor , es igual a la probabilidad de que no se produzca ningún acontecimiento en el intervalo , por consiguiente, igual a e-.

Al respecto de lo que estamos exponiendo hasta ahora, puede resultar suficientemente aclaratorio el siguiente gráfico:

Si se designa por F() la función de distribución de , la probabilidad de que el intervalo en cuestión sea superior a  no es otra que 1 – F().

En estas condiciones: resultando:

De este modo, en el marco de un proceso poissoniano, la ley de probabilidad de los intervalos que separan dos acontecimientos sucesivos no es otra que la ley exponencial. Su media y su varianza son:

En los fenómenos de espera, la ley de Poisson describe, a menudo, correctamente el proceso de llegada de los estímulos y la ley exponencial la distribución de las duraciones del servicio. En tal caso, la ley de llegadas viene definida por el número medio de las llegadas por unidad de tiempo y la ley de las duraciones del servicio por la tasa media de servicio (inversa del tiempo medio que separa dos acontecimientos sucesivos).