EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

3.2.3. Propiedad reproductiva

Si X1, ..., Xn son n variables aleatorias independientes, distribuidas según una (i, a), para i = 1, ..., n, entonces la variable aleatoria:

Y = X1 + ... + Xn

sigue una distribución:

(1 + ... + n, a)

Demostración:

Calculamos la función generatriz de momentos de la variable aleatoria Y, con lo que:

gY(t) = EetY = Ee t(X1+...+Xn) = EetX1 ..... EetXn =

= (1- t/a)-1 ..... (1- t/a)- n = (1- t/a)-( 1+ ... + n)

que es la función generatriz de momentos de una distribución: (1+...+n,a).

Y teniendo en cuenta la conocida propiedad de la unicidad de la función generatriz de momentos, resulta que:

Y  (1 + ... + n, a)

es decir, que la distribución (,a) es reproductiva respecto al parámetro .

Proposición:

Si la variable aleatoria X se distribuye según una N(0,1), entonces la variable aleatoria Y = X2 se distribuye según una .

Demostración:

La función de distribución de la variable aleatoria Y en el punto x, para x>0, será:

en donde Fx es la función de distribución de la variable aleatoria X, N(0,1).

Derivando la expresión de la función de distribución, tendremos la función de densidad; en efecto:

que, como vemos, es la función de densidad de una .

Proposición:

Si X1, ..., Xn son n variables aleatorias independientes y distribuidas según una N(0,1), entonces la variable aleatoria:

Y = X21 + ... + X2n

sigue una distribución:

La demostración de la presente proposición resulta inmediata, pues basta con tener en cuenta una proposición anteriormente expuesta y la propiedad reproductiva de la distribución gamma respecto al parámetro .

Cuando el parámetro  es entero, a la distribución (,a) se le conoce también con el nombre de distribución de Erlang, a la cual nos hemos referido en el capítulo 8 de nuestro libro, y entonces se relaciona con la distribución de Poisson, de manera que si el número de sucesos aleatorios e independientes que ocurren en un intervalo de tiempo es una variable aleatoria de Poisson de parámetro a (es decir con media de ocurrencia constante a), entonces la variable que representa el tiempo, hasta que ocurra el -ésimo suceso de Poisson, sigue una distribución (,a).

El ejemplo práctico que se plantea en el siguiente anexo de este libro, por lo que se refiere a la distribución de los cocientes intelectuales de los diferentes individuos componentes de un colectivo de superdotados, podría presentar una distribución de probabilidad del tipo (3,1) o similar, si se observa la anterior figura A-1.17.

3.3. Distribución exponencial

También se le suele llamar distribución exponencial negativa.

Diremos que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigue una distribución exponencial de parámetro a, siendo a y a > 0, si su función de densidad es:

Abreviadamente lo indicaremos por: