EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

4.2.2. Problemas que se plantean

A) Primer problema

El primer problema con que nos enfrentamos es el de expresar los conceptos, y los supuestos de la respectiva teoría, en lenguaje matemático. En las teorías socioeconómicas de enfoque marginalista, la resolución de un problema viene facilitada porque en dicho enfoque se admiten los siguientes extremos:

a) Que las variables socioeconómicas son susceptibles de ser expresadas por números reales y que admiten variaciones infinitamente pequeñas. Es decir, son variables reales continuas.

b) Que las relaciones existentes entre las variables socioeconómicas pueden ser expresadas por funciones reales de diversos tipos, que suelen ser continuas y derivables repetida o iterativamente.

De hecho, la expresión de los conceptos en forma matemática está posibilitada por las dos características anteriores. Pero las dos características que admite el enfoque marginalista no solamente posibilitan la expresión de los conceptos en términos matemáticos sino que, además, permiten expresar los supuestos de la teoría en forma de ecuaciones (o inecuaciones) que forman el modelo matemático. Los supuestos de la teoría especifican cuáles son las relaciones que existen entre las variables socioeconómicas, y al ser estas relaciones expresables por medio de funciones reales, basta con utilizar el gran arsenal de funciones reales de que dispone la Matemática para poder expresar los supuestos de la teoría en forma de ecuaciones o inecuaciones. De este modo, queda la teoría expresada como un sistema de ecuaciones que constituyen la formulación del modelo matemático de la teoría en cuestión. Además, en muchos casos puede hacerse una representación gráfica del modelo, lo que le hace mucho más intuitivo.

B) Segundo problema

El segundo problema que se nos plantea, una vez ya formulado el modelo, es el de deducir las variables endógenas en función de las exógenas y de los parámetros que pueden figurar en las relaciones que forman el modelo.

Si se tiene en cuenta que un modelo matemático no es otra cosa que un sistema de ecuaciones en el que las incógnitas son las variables endógenas, se comprende fácilmente que el problema de deducir los valores de las variables endógenas en función de las exógenas y de los parámetros, requiere la utilización de “técnicas matemáticas” para resolver sistemas de ecuaciones. Estas técnicas son muy variables dependiendo de la naturaleza de las ecuaciones que forman el modelo.

Las más usuales, en cualquier caso, son las siguientes:

- Cuando el modelo consiste en un sistema de ecuaciones lineales, ha de recurrirse a las “técnicas de resolución de sistemas lineales”, donde la discusión del conocido teorema de Rouché-Frobenius-Krönecker adquiere singular relevancia. Si el número de ecuaciones es elevado, resulta preciso recurrir a los Métodos Matriciales, que presentan la gran ventaja de ser resueltos con el auxilio del ordenador y el software adecuado.

- Cuando el modelo consista en optimizar (maximizar o minimizar) una función cuyas variables estén sometidas a restricciones dadas por igualdades, la resolución del modelo requiere el empleo de las técnicas matemáticas propias del “Cálculo de Extremos Relativos” (máximos y mínimos locales) propias del Cálculo Infinitesimal clásico, como el método de los multiplicadores u operadores de Lagrange.

- Cuando el modelo consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal cuyas variables estén sometidas a restricciones dadas por desigualdades lineales, ha de recurrirse a las técnicas de la “Programación lineal”, que es una parte de la Investigación Operativa.

- Cuando el modelo consiste en optimizar una función no lineal cuyas variables están sometidas a restricciones dadas por desigualdades lineales o no lineales, la resolución del modelo ha de hacerse a través de las técnicas matemáticas de la “Programación no lineal”, también propias de la Investigación de Operaciones.

Mediante el empleo de las técnicas anteriores, o bien de otras varias no mencionadas, se resuelve el problema de deducir los valores de las variables endógenas en función de las exógenas y de los parámetros. Es precisamente en esta fase deductiva donde las Matemáticas colaboran en forma esencial con el análisis psicológico. La deducción matemática presenta la ventaja de su rapidez y de llegar allí donde la deducción verbal le es a veces imposible, como ya hemos señalado en la Introducción al presente libro. El dominio de las mencionadas técnicas matemáticas resulta de vital importancia si se quiere llegar a emplear el lenguaje matemático en los análisis psicológicos. Dicho dominio exige que, previamente, se conozcan las propiedades esenciales de las funciones reales, tanto de una variable como de varias.

C) Tercer problema

El tercero y último de los problemas que presenta un modelo matemático es el de deducir las conclusiones del modelo. Estas conclusiones suelen expresarse analizando cómo se ven afectados los valores de las variables endógenas, antes calculados, al producirse una alteración en una de las variables exógenas o en uno de los parámetros. Las variaciones que experimentan las variables endógenas ante una alteración en una de las variables exógenas o parámetros constituyen las “Predicciones del Modelo”. Estas predicciones son las que deben servir de base a la hora de tomar decisiones terapéuticas o bien por parte del psicólogo experimentador.

La deducción de las conclusiones del modelo suele requerir el uso de las derivadas parciales. Para analizar como se ve afectado el valor de una de las variables endógenas ante una alteración en una de las variables exógenas, basta con calcular la derivada parcial de la variable endógena respecto a la exógena.

La exposición efectuada hasta aquí ha pretendido resaltar dos cuestiones, sin ánimo de dejarlas resueltas:

- La primera de ellas es un intento de clarificar de qué manera las Matemáticas van a servir a las teorías psicológicas.

- La segunda de las cuestiones es la de anticipar cuáles van a ser las necesidades matemáticas, o parte de dichas necesidades, que demandan los análisis de enfoque marginalista.

Resumiendo todo lo expuesto hasta ahora, cabe destacar lo siguiente:

- Que muchas de las teorías psicológicas, de carácter deductivista, pueden ser expuestas en forma matemática a través de los modelos matemáticos.

- Que el manejo de un modelo matemático presenta tres problemáticas diferenciadas temporalmente, a saber:

1. Formulación del modelo.

2. Deducción de los valores de las variables endógenas en función de las exógenas y de los parámetros.

3. Deducción de las conclusiones del modelo, analizando cómo se ven afectados los valores de las variables endógenas ante una alteración en una de las variables exógenas o parámetros.

- Que la resolución de las anteriores disyuntivas requiere, desde el lado matemático, conocer las siguientes cuestiones:

a) Las propiedades generales de las funciones reales, tanto de una como de varias variables reales, así como los conceptos matemáticos de las mismas, orientado este estudio a exponer los conceptos en forma matemática y a expresar los supuestos de la teoría en la forma de un sistema de ecuaciones o inecuaciones que constituyen la formulación del modelo.

b) El desarrollo de técnicas matemáticas diversas (resolución de sistemas lineales, cálculo de extremos relativos, programación lineal y lineal paramétrica, programación no lineal, cuadrática, dinámica, en números enteros, hiperbólica, etc.) con las que se haga posible deducir los valores de las variables endógenas en función de las exógenas y de los parámetros.

c) El cálculo de derivadas parciales, tanto de funciones simples o explícitas como de funciones compuestas o implícitas, con las que se haga posible la deducción de las conclusiones del modelo cuando se analicen cómo se ven afectados los valores de las variables endógenas ante una alteración de una de las variables exógenas o parámetros.