EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

3.4. Probabilidad lógica

Los sistemas lógicos consideran a la probabilidad como una única relación lógica entre proposiciones o sentencias. Bajo tales aspectos: “la probabilidad mide como un conjunto de proposiciones, fuera de la lógica necesidad y aparte de la opinión humana, confirma la verdad de otro”. Entre los cultivadores de este concepto destacan Jeffreys, Keynes, Carnap (que la denomina “grado de confirmación”), Tintner (“credibilidad”) y Le Blanc (“probabilidad inductiva”).

Desde el punto de vista de la escuela lógica, todos los sistemas tienen en común la relación lógica entre dos proposiciones q/p como relación indefinida (esto es, que sólo está definida por los axiomas o postulados), que se lee “probabilidad de q dado p”. Todo cuanto satisface a estos axiomas será una interpretación de la probabilidad, y cabe esperar el que haya diversas interpretaciones, por ejemplo, las de las axiomáticas de Keynes y Jeffreys, pero todas tienen el mismo punto de arranque, y es la definición anteriormente expresada. Los axiomas o postulados requeridos fueron recogidos por C.D. Broad (1920), y son los siguientes:

I. Dados p y q, hay sólo un valor q/p.

II. Los posibles valores de q/p son todos los números reales en el intervalo (0,1).

III. Si p implica q, entonces q/p = 1.

IV. Si p no implica q, entonces q/p = 0.

V. La probabilidad de q y r dado p es la probabilidad de q dado p multiplicada por la probabilidad de r dado p (axioma conjuntivo).

VI. La probabilidad de q o r dado p es la probabilidad de q dado p más la probabilidad de r dado p menos la probabilidad de q y r dado p (axioma disyuntivo).

Esta axiomática puede considerarse como la antitesis de la teoría de la frecuencia representada por Venn, Von Mises y Reichenbach.

Ahora consideramos un breve resumen de la axiomática de Jeffreys, que tiene como elemento esencial la relación lógica existente entre dos proposiciones (también es el caso de la de la probabilidad subjetiva de Keynes, a la que hacemos singular referencia en otro apartado de nuestro libro). Jeffreys, en su obra de 1939, trata de establecer el concepto abstracto de probabilidad mediante una axiomática que sea aplicable al mundo real. Como concepto abstracto, considera la probabilidad como una generalización de la lógica deductiva, pudiendo considerarse incluida dentro de la “probabilidad matemática”, siendo sus principales representantes Broad y Keynes, aunque Jeffreys presenta algunas diferencias notorias.

La axiomática de Jeffreys consta de seis axiomas y tres convenios, aunque, en realidad, son también axiomas, como ocurre, por ejemplo, con el convenio de normalización, que es un axioma base en todos los otros sistemas. Se fundamenta en la idea primitiva de asignar un grado de creencia o de confianza a una proposición, aunque no se pueda demostrar. Evidentemente dependerá del conjunto de la información que tengamos, por eso no tiene sentido el hablar de “probabilidad de la proposición”, sino de “probabilidad de la proposición de q dada p”. Es decir, la probabilidad es una función de dos argumentos.

Con el sistema de axiomas demuestra que toda probabilidad puede ser expresada por un número real, y que está acotado inferiormente por cero. También considera el caso estudiado por Laplace en su “Teoría Analítica”, y comprueba que puede considerarse como un caso particular. Para ello considera el conjunto finito: q1, q2, ..., qn de todas las alternativas incompatibles deducibles de una proposición p, y dos subconjuntos A y B formados, respectivamente, por a y b elementos; entonces, se verifica que:

P(A/p) / P(B/p) = a/b

Si B es el conjunto de todas las alternativas incompatibles y exhaustivas, deducibles de p, entonces B es implicado por p, y de aquí que:

P(B/p) = 1 ; P(A/p) = a/n

siendo n el número de alternativas posibles. Es decir, se verifica la regla clásica de Laplace: “Número de casos favorables dividido por el número de casos posibles”. A esta probabilidad se le puede llamar R-probabilidad, ya que viene dada por un número racional.

Así pues, una conclusión para Jeffreys es que la probabilidad es una relación lógica, y existe siempre, siendo el conjunto de probabilidades completamente ordenado. Esta probabilidad se puede expresar mediante un número real, ya que establece el isomorfismo entre el conjunto de probabilidades y los puntos del intervalo (0, 1). He aquí una diferencia notable con la axiomática de Keynes, ya que para éste el conjunto de probabilidades es parcialmente ordenado y la suma y producto no están definidos para cualquier par de elementos.