EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

4. Probabilidad condicionada y teorema de Bayes

4.1. Probabilidad condicionada

Dados dos sucesos A y B de la misma categoría de pruebas, cuyas probabilidades respectivas son P(A) y P(B), se supone la siguiente situación: se sabe que el suceso A se ha verificado. Entonces cabe preguntarse si la probabilidad de B seguirá siendo la misma o habrá sufrido alguna modificación. Según se verá más adelante, en función de las circunstancias caben ambas respuestas.

El suceso consistente en la realización de B, sabiendo que se ha verificado A, se representa por B/A (“B condicionado a A”). Para calcular la probabilidad del referido suceso, supongamos que E (espacio muestral) está formado por n sucesos elementales de los cuales n’ son favorables a la realización de A, n’’ lo son a la de B y n’’’ lo son a la del suceso A  B. Por tanto, se tendrá:

El suceso B/A, perteneciente a otra categoría de pruebas, se presenta n’’’ veces (casos favorables a B, cuando se ha presentado A) de entre las n’ veces que ha aparecido A; luego:

De aquí que la probabilidad del suceso B/A es la razón entre las probabilidades P(A  B) y P(A).

Dos sucesos A y B, tales que P(B/A) = P(B) se conocen con el nombre de “independientes”; si por el contrario P(B/A)  P(B), los sucesos son “dependientes”.

En el caso de sucesos independientes, se tiene que:

luego, para dos sucesos independientes, se cumplirá que:

P(AB) = P(A) • P(B)  “regla de multiplicación” o “probabilidad compuesta”,

mientras que si los sucesos son dependientes se tendrá que:

P(AB) = P(A) • P(B/A)

Es interesante observar que la relación de independencia es simétrica, puesto que P(B/A) = P(B) implica que P(A/B) = P(A). En efecto, si P(B/A) = P(B), se tendrá:

, tal como queríamos demostrar.