EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA 
UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

Josep Maria Franquet i Bernis

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3. Otros conceptos diversos de probabilidad

3.1. Introducción

En el anterior capítulo 3 hemos tenido ocasión de estudiar el concepto de “probabilidad subjetiva”, que constituye el soporte del desarrollo de los métodos modernos de la teoría de la decisión estadística. Pero existen otros conceptos de probabilidad, cuyo empleo en el tratamiento científico de la Psicología es frecuente, razón por la cual consideramos oportuno extendernos ligeramente en su explicación.

3.2. Probabilidad clásica

La idea de probabilidad surge vinculada a los juegos de azar. El concepto que ha sido más usado hasta la formalización de la Estadística es la definición de Laplace, que establece la probabilidad de un suceso como “el número de casos favorables dividido por el número de casos posibles”. Por ejemplo, al arrojar un dado, la probabilidad de obtener un número par de puntos es -de acuerdo con esta definición- el cociente: 3/6 = 0’5, ya que el número de casos favorables es tres (caras con dos, cuatro o seis puntos) y el número de casos posibles es seis (las seis caras del cubo).

La definición de Laplace entraña una tautología, ya que al hablar de “casos posibles” se quiere decir “casos igualmente posibles”, y ello equivale a exigir “casos igualmente probables o equiprobables”; es decir, lo definido entra en la definición. Así, en nuestro ejemplo anterior, si el dado está “cargado”, puede aceptarse intuitivamente que la probabilidad de sacar el punto uno puede ser distinta de la de que salga el punto seis y, en tal caso, la solución de Laplace no parece correcta. No obstante, esta definición sigue empleándose en la resolución de muchos problemas y constituye un buen recurso en los manuales de Matemáticas para plantear ejercicios de Combinatoria (variaciones, permutaciones y, sobre todo, combinaciones con o sin repetición).

Este concepto de probabilidad está basado en lo siguiente: “Sea B cualquier clase finita y A cualquier otra clase también finita. Necesitamos definir la probabilidad de que un miembro B, escogido el azar, sea miembro de A”. Definiremos esta probabilidad como el “cociente del número de elementos que integran la clase B que son también A entre el número total de elementos de la clase B, y denotaremos a esta probabilidad mediante el símbolo A/B”.

Es obvio que la probabilidad así definida es un número racional o cero o uno. Esta probabilidad aparece implícitamente en los trabajos de De Moivre (“Doctrine of Chances”, 1738), y es usada más recientemente en los trabajos de Jerzy Neyman.

Un objeción que se le suele poner a esta teoría es que en el caso de distribuciones continuas hay un número infinito de casos posibles, y entonces la definición como cociente de casos probables y posibles carece de significado, puesto que dicho cociente sería cero. A esta objeción responden Neyman y Cramer considerando como probabilidad el cociente de las medidas de conjuntos de puntos; entonces la dificultad radica en qué se entiende por esta medida. Pero esta noción conjuga perfectamente en el caso discreto.

Esta definición satisface los axiomas referentes a la probabilidad matemática sin más que tener en cuenta que las letras p, q y r son representantes de clases o funciones preposicionales proporcionales, y en lugar de decir “P implica Q”, decimos “P está contenido en Q”. Hay que notar que, para que todo tenga sentido, es necesario que B no pueda reducirse nunca a cero.

Esta interpretación también es común en Laplace (aunque algunas veces se le considera subjetivista) y a De Morgan (“An Essay on Probability”, 1918), quien sostiene que la palabra probable se refiere al estado de ánimo referente a una afirmación de la que no se tiene completa certeza o conocimiento. Ya que la certeza tiene grados, que se pueden expresar cuantitativamente por medio de la probabilidad, basta definirla algebraicamente como la razón del número total de alternativas favorables de un acontecimiento al número total de alternativas, todas equiprobables, entendiendo que dos proposiciones son equiprobables si la fuerza de nuestra creencia se divide por igual entre ambas; éste es el llamado “principio de razón insuficiente, suficiente o indiferencia”.

En definitiva, sean los sucesos A1, A2, ..., An que forman un sistema completo de sucesos y que supondremos equiprobables; por tanto,

P(A1) + P(A2) + ... + P(An) = P(E) = 1

P(A1) = P(A2) = … = P(An)

Luego

P(A1) = P(A2) = … = P(An) = 1/n

Sea ahora un cierto suceso A que se verifica si lo hacen m de los sucesos considerados; para fijar ideas suponemos los m primeros, o sea:

A = A1A2 ... Am = Ai,  i(1,...,m),

Se tendrá, evidentemente:

P(A) = P(A1A2 ... Am) = P(A1) + P(A2) + … + P(Am) =

resultado que formula la regla de Laplace, que se puede enunciar así: Si el espacio muestral es descomponible en n sucesos equiprobables e incompatibles y si m de ellos son favorables a la realización de un cierto suceso A, se tiene:

P(A) = m/n

esto es, la probabilidad de dicho suceso se puede encontrar como la razón del número de casos favorables al número de casos posibles, siempre que los casos considerados correspondan a sucesos equiprobables e incompatibles.