EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

CAPÍTULO 2. Los modelos psicológicos

1. Definición y conceptos previos

1.1. Síntesis histórica del concepto de "modelo"

Sería conveniente comenzar nuestra exposición definiendo particularmente lo que pudiera ser el concepto de "modelo psicológico" y, con mayor generalidad, el propio de "modelo".

Se habrá notado la aparición, en varias ocasiones, de la noción de "modelo" o de "interpretación" de una teoría matemática por medio de otra. No se trata, en absoluto, de una idea reciente o novedosa y, sin duda, puede verse en ella una manifestación permanente del sentimiento profundo de la unidad de las distintas "ciencias matemáticas". Respecto a ello, decía Descartes que "no por ello dejan de acordarse en tanto que no tienen en cuenta otra cosa que las relaciones o proporciones que se encuentran en dichas ciencias".

Precisando el "acuerdo" del que hablaba Descartes, parece entreverse, por vez primera, la noción general de isomorfismo (que él llamaba "semejanza") y la posibilidad de "identificar" relaciones u operaciones isomorfas, dando, como ejemplos de ello, el de la adición y el de la multiplicación. No obstante, tan audaces ideas no tuvieron ningún eco entre sus contemporáneos, y habrá que esperar hasta el gran desarrollo del álgebra de mediados del siglo XIX para vislumbrar siquiera el comienzo de la materialización de los sueños leibnizianos (Franquet, 1990/91).

Es, precisamente, en este momento histórico, cuando los modelos se multiplican y se acostumbra a pasar de una teoría a otra mediante un simple cambio de lenguaje; el ejemplo más claro de lo que antecede es, seguramente, el de la dualidad en geometría proyectiva, donde la costumbre, muy frecuente en la época, de escribir en columnas contiguas los teoremas "duales", tuvo mucho que ver con la toma de conciencia de la noción de isomorfía. Por otra parte, mediante el descubrimiento de las coordenadas homogéneas -junto con Feuerbach y Plücker- A. F. Möbius no sólo pudo entender, en términos puramente algebraicos, las nociones fundamentales de puntos impropios y de puntos imaginarios introducidos por Poncelet (1788-1867) y apreciar en todo su valor (junto con Poncelet, Gergonne , Plücker y Chasles ) el principio de dualidad, sino que pudo dar un tratamiento completo y moderno del invariante fundamental de la geometría proyectiva: la "razón doble" de cuatro puntos alineados.

El empleo, cada vez más extendido, de la noción de "modelo", permitiría también al siglo XIX llevar a cabo la unificación de las Matemáticas soñada por los pitagóricos. A principios del siglo, los números enteros y las magnitudes continuadas parecían tan incompatibles entre sí como en la antigüedad; los números reales continuaban estando ligados a la noción de magnitud geométrica (longitud, superficie, volumen), a la que se había recurrido para obtener "modelos" de los números negativos e imaginarios puros y mixtos. Incluso, los números racionales estaban tradicionalmente relacionados con la idea de la división de una magnitud en partes iguales. Sólo quedaban aparte los números enteros, como "productos exclusivos de nuestro espíritu", tal como decía Gauss en 1832, oponiéndolos a la noción de espacio.

Los primeros esfuerzos para aproximar la Aritmética y el Análisis Matemático se refirieron a los números racionales, positivos y negativos, y fueron debidos a Martin Ohm en 1822, siendo continuados hacia 1860 por varios autores, fundamentalmente Grassmann , Hankel y Weierstrass (en sus cursos no publicados). A este último, parece deberse la idea de obtener un "modelo" de los números racionales positivos y de los enteros negativos considerando clases de pares de números naturales o enteros positivos. Pero faltaba realizar, sin duda, la tarea más importante: la de obtener un modelo de los números irracionales o inconmensurables dentro de la teoría de los números racionales; hacia el año 1870, la solución de este problema era realmente urgente a la vista de la perentoriedad -surgida después de la aparición de fenómenos "patológicos" en Análisis- de prescindir del uso de cualquier intuición geométrica vaga de "magnitud" para definir el cuerpo de los números reales. Como sabemos, este problema fue resuelto en esta época, y casi simultáneamente, por Cantor , Dedekind , Méray y Weierstrass, siguiendo, por cierto, métodos bastante diferentes.

A partir de este momento, los números enteros pasan a ser el fundamento de todas las matemáticas clásicas. Además, los "modelos" basados en la Aritmética van adquiriendo cada vez más importancia con la extensión del método axiomático y la concepción de los objetos matemáticos como creaciones libres, prodigiosas y admirables del espíritu humano.