EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA 
UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

Josep Maria Franquet i Bernis

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2. Las áreas bajo la curva normal

El estudio detenido que acabamos de realizar, desde el punto de vista del análisis matemático, de las distribuciones normales tipificadas y sin tipificar, nos permitirá aprovechar los conocimientos que la ciencia estadística proporciona acerca de dicha distribución teórica de frecuencias para obtener ciertas conclusiones de tipo cuantitativo, de gran aplicación en el análisis de la uniformidad de las variables psicológicas que tendremos ocasión de llevar a cabo, por ejemplo, en el Anexo 2.

Y así, se tendrá lo siguiente:

Del mismo modo, en la página siguiente pueden verse expresadas, de manera conjunta las diversas áreas existentes bajo una curva de distribución normal tipificada o no en función de las unidades de desviación típica o “standard” que se adicionen a la media aritmética por el eje de abscisas. Esto es:

En la siguiente tabla se presentan las áreas: (multiplicadas por 1.000) bajo la curva de distribución normal. A saber:

De aquí, pueden resolverse las siguientes cuestiones:

a) Área total bajo la curva normal y probabilidad de que la variable psicológica tome un valor cualquiera de su recorrido o campo de variación (de - a +).

La simple observación de la tabla anterior nos dice que el área bajo la curva normal, desde 0 a 3'9, toma el valor:

499'95 / 1.000 = 0'49995  0'5

Por la simetría de la curva de Gauss, ésta es la mitad del área total, que vale la unidad. Por otra parte, la probabilidad de que la variable psicológica en estudio x tome cualquier valor es la certeza absoluta; por ello, su valor es la unidad, en virtud del axioma o postulado que reza que “la probabilidad de un suceso cierto vale 1” (probabilidad total).

b) Área bajo la curva determinada por las ordenadas en los extremos de los intervalos (1, 2) y (-1, -2). ¿Cuál es el valor de la probabilidad de que la variable psicológica x tome un valor comprendido entre 1 y 2? ¿Y entre -2 y -1?

Según puede verse en la tabla anterior, las áreas bajo la curva comprendidas entre el eje de ordenadas (x=0) y las ordenadas x=2 y x=1, son, respectivamente:

477 / 1.000 = 0'477 y 341 / 1.000 = 0'341 ;

entonces, el área pedida será la diferencia:

que es también la probabilidad de que la variable psicológica x tome un valor comprendido entre 1 y 2, por la propiedad aditiva del intervalo de integración en las integrales definidas.

El área comprendida entre las ordenadas x = -2 y x = -1 es la misma anterior y la probabilidad de que x tome un valor del intervalo (-2, -1) es también igual, en virtud de la simetría de la figura, a:

y P(-2 < x < -1) = 0'136 .

c) Intervalo (-a, a) cuyas ordenadas extremas delimiten el 50 por 100 del área total existente bajo la curva normal y su expresión probabilística.

Hemos de encontrar ahora un valor x = a, tal que delimite hasta el eje de ordenadas el 25 por 100 del área total (por simetría, el intervalo [-a, 0] delimitará el otro 25 por 100).

Según la tabla, este valor comprendido entre x = 0'6 y x = 0'7, y las áreas respectivas, a saber, 0'226 y 0'258, incluyen la de valor 0'250 pedido.

De la proporción:

obtendremos el valor: a = 0'68, con lo que:

y P(-0'68 < x < 0'68) = 0'50 .

d) Valor de a tal que las colas (áreas a la izquierda de -a y a la derecha de +a) que existen bajo la curva normal sumen el 5 por 100 del área total.

El área de cada cola debe medir el 2'5 por 100 del área total; entonces el valor de a ha de satisfacer la condición:

Según la tabla, este valor de a está comprendido entre 1'9 y 2'0 y se puede estimar según la proporción:

En la práctica, se suelen tomar los valores de -2 y 2 para definir la cola del 5 por 100, o lo que es igual:

P(-2 < x < 2) = 0'95 .

Habida cuenta de su interés para la realización de este tipo de cálculos dada la dificultad de resolver integrales definidas de funciones de densidad normales como las que venimos estudiando en el presente capítulo de nuestro libro, a continuación se presenta una tabla que ofrece las áreas existentes bajo la curva normal tipificada, limitadas por la ordenada z = 0 y cualquier valor positivo de z. A partir de esta misma tabla, se pueden encontrar las áreas comprendidas entre dos ordenadas cualesquiera, utilizando la simetría de la curva de Gauss en relación al eje de ordenadas z = 0. La tabla siguiente se refiere a las áreas existentes bajo la curva normal tipificada, desde - hasta z. Por último, se incluye también una tabla con los valores de las ordenadas (y) de la curva normal tipificada para los diferentes valores de z.

Dichas tablas han sido extraídas del libro de José M. Casas Sánchez y Julián Santos Peñas titulado “Introducción a la Estadística para Economía y Administración de Empresas”, Ed. Ceura, Madrid, 1995, así como de los clásicos de Murray R. Spiegel de “Teoría y Problemas de Probabilidad y Estadística”, Ed. McGraw-Hill, México, 1969-1981, citados en la bibliografía. Veámoslas a continuación: