EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA 
UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

Josep Maria Franquet i Bernis

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ANEXO 1. Restantes especificaciones metodológicas

I. LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

1. La distribución teórica de probabilidad

A lo largo de nuestro libro, y en la psicología aplicada en general, se utilizan profusamente conceptos relacionados con la distribución teórica de probabilidad normal, tipificada o no; de ahí el interés de desarrollar aquí algunas ampliaciones conceptuales que puedan resultar de utilidad para una mejor comprensión de los estudios y determinaciones efectuadas en algunos capítulos del presente libro. Por otra parte, el significado físico del CV (coeficiente de variación de Pearson) se deduce claramente si aceptamos que todos los valores de la variable elegida en el estudio (por ejemplo, el cociente intelectual de un colectivo determinado de individuos superdotados), se distribuyen de acuerdo con la curva campaniforme de una distribución normal y, por lo tanto, se tendrá lo siguiente:

a) Prácticamente, todos los valores observados se hallarán comprendidos en el entorno: (1  3 CV) .

b) Aproximadamente, el 95% de las observaciones se encuentran comprendidas en el entorno: (12 CV) .

c) Si se toman las n/4 observaciones de valores más bajos del total de los n valores medidos de la variable en cuestión (cuyo valor superior será el primer cuartil Q1 de la distribución de frecuencias), su media aritmética será igual a: q25=(1-1'27 CV) .

d) EL 68'27% de las observaciones realizadas estarán en el intervalo: (1CV) .

Desde luego, la ecuación matemática de la función de la distribución normal sin tipificar viene dada por la expresión:

, en la que se ha tomado, como es usual, = , y que coincide con la expresión matemática de la célebre "ley de los errores", debida a Karl Gauss, siendo y = f(x) la denominada "función de densidad normal".

De esta definición se deduce que no hay una única distribución normal sino una familia de distribuciones, resultante de los diferentes valores de los parámetros  y .

Veamos ahora que la expresión de la función de densidad normal sin tipificar está bien definida, es decir, es una función de densidad. Evidentemente f(x) > 0 por la propia definición, pero necesitamos probar que la integral impropia de primera especie extendida a toda la recta real vale la unidad (probabilidad total).

Para ello hacemos el cambio de variable:

de donde:

dx = •dz

Sustituyendo en la expresión anterior, tenemos la “tipificación”:

Haciendo un nuevo cambio de variable:

de donde:

resultando que la integral anterior será :

con lo cual tenemos probado que la expresión anteriormente relacionada es una función de densidad.

Así mismo, se tendrá que:

, es la denominada “función de distribución normal”, que es la probabilidad de que la variable aleatoria estadística tome un valor  xi.

Las áreas comprendidas bajo la curva normal y hasta el eje de abscisas representan probabilidades; en estas condiciones, veamos que la probabilidad de que: x  ]x1, x2] será:

Como ya hemos visto, cuando la variable aleatoria estadística que estamos investigando x viene expresada en unidades de desviación: Z = (x-)/, se tiene la distribución normal tipificada, así:

, y decimos que la variable Z se distribuye normalmente con media cero ( = 0) y varianza uno (2 = 1).

Vamos a proceder, seguidamente, al estudio más pormenorizado de ambas curvas.

1) Como acabamos de ver, la ecuación de la curva normal tipificada es:

;  = 0 ; 2 = 1 ,

que es la función de densidad normal reducida.

• Extremos relativos y puntos de inflexión:

Se tiene:

luego existe un máximo relativo o local en el punto (0, 1 ), de intersección con el eje de ordenadas OY, y no habrá intersección con el eje de abscisas OZ a distancia finita, esto es:

 y = 0 : Z = +  y Z = -  .

De y" = 0, o sea: Z2-1 = 0, saldrán los puntos de inflexión, que son: Z = +1; o sea, los puntos de coordenadas: (1, ) y (-1, ).

• Crecimientos y decrecimientos:

Veamos que

• Asíntotas:

, luego tiene por asíntota horizontal (rama hiperbólica) el eje OZ. No tiene otras ramas infinitas o ramas parabólicas.

•Simetrías:

- Respecto al eje OY, pues al cambiar (Z) por (-Z), no sufre variación (se trata de una función par).

•Concavidades y convexidades:

De: , se deduce que, según los diferentes intervalos de la recta real:

Su representación gráfica, en definitiva, será la siguiente:

Veamos que en esta distribución teórica de probabilidad, como en todas las simétricas, se cumple, como puede observarse fácilmente, la igualdad entre la media aritmética, la mediana y la moda, valores que, en este caso, coinciden con cero.

2) La ecuación de la curva normal sin tipificar es:

(función de densidad normal)

•Asíntotas:

, luego tiene por asíntota horizontal (rama hiperbólica) el eje de abscisas OX. No tiene otras ramas infinitas o ramas parabólicas.

•Cortes con los ejes:

Cortará al eje OY en el punto [0, ] y no cortará al eje OX a distancia finita.

•Extremos relativos y puntos de inflexión:

luego existe un máximo relativo o local en el punto (a, ), al ser negativa la segunda derivada.

Por otra parte, de y"=0, o sea: ( - x)2 = 2, saldrán los puntos de inflexión, que son:  (- x) = ; o sea: x = +, o bien x = -, esto es, los puntos de las coordenadas cartesianas rectangulares:

, siendo convexa la curva entre dichos puntos, y cóncava en el resto del intervalo de existencia, como puede comprobarse del estudio de la segunda derivada y". Así pues, es cóncava hacia la región positiva de OY, para: - < x < -, y para + < x < + , y cóncava hacia la región negativa del eje de ordenadas (convexa hacia las y+) en el intervalo o dominio de definición: - < x < +.

•Simetrías:

La curva es simétrica con respecto a la ordenada correspondiente al punto , por ser una función par con respecto a la diferencia: (x-).

•Crecimientos y decrecimientos:

Veamos que

En definitiva, veamos que la distribución normal queda completamente determinada si se especifican su media y su desviación típica o “standard”. Como ya se ha visto, un conocimiento adicional sobre el papel que el parámetro  juega en la determinación de una función de densidad normal se logra calculando el área bajo Y comprendida dentro del intervalo correspondiente. De este modo, la probabilidad de que X se halle en un entorno de centro  y radio  vendrá dada por la expresión:

Su representación gráfica será la siguiente: