EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

5. La distribución hipergeométrica

En algunas de las distribuciones estudiadas en Psicología considerábamos que se realizaban repeticiones independientes de experimentos o pruebas de Bernouilli, en donde la probabilidad de éxito permanecería constante en cada repetición, es decir, las repeticiones independientes de las pruebas eran equivalentes a la selección de una muestra con devolución o reemplazamiento. Sin embargo, esta circunstancia no se presentará siempre, y cuando el muestreo o selección de los elementos de la muestra (lo cual equivale a la repetición de las pruebas de Bernouilli en la distribución binomial) se lleva a cabo sin reemplazamiento o reposición la probabilidad de éxito no permanece constante como sucedía en la binomial, luego la función de probabilidad de la variable aleatoria X no responde a la distribución binomial sino a una nueva distribución que denominamos “hipergeométrica”.

Definimos la variable aleatoria psicológica hipergeométrica X como el número de elementos que pertenecen a una de las subpoblaciones (consideramos la primera) cunado tomamos una muestra aleatoria sin reemplazamiento de tamaño n de la población total N. Para obtener la función de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica X tenemos que calcular la probabilidad de que dicha variable tome sus diferentes valores x, es decir, P(X = x) y utilizaremos, para ello, la expresada regla de Laplace , en donde la probabilidad venía dada por el cociente entre el número de casos favorables partido por el número de casos posibles. Los casos posibles son todas las muestras de tamaño n obtenidas de la población total o universo de tamaño N, que serán las combinaciones sin repetición: CN,n = CnN

En estadística, la distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta con tres parámetros discretos: N, d y n cuya función de probabilidad es:

Aquí, el número combinatorio se refiere al coeficiente binomial, o al número de combinaciones sin repetición posibles al seleccionar b elementos de un total a.

Esta distribución se refiere a un espacio muestral donde hay elementos de 2 tipos posibles. Indica la probabilidad de obtener un número de objetos x de uno de los tipos, al sacar una muestra aleatoria sin reposición de tamaño n, de un total de N objetos, de los cuales d son del tipo requerido. Dicha función está bien definida; así pues, las probabilidades son no negativas y, además, la suma de todas ellas (probabilidad total) es igual a la unidad.

El valor esperado o esperanza matemática de una variable aleatoria X de distribución hipergeométrica es el siguiente:

, y su varianza viene dada por:

Amén de otras aplicaciones de interés en Psicología, esta distribución de probabilidad posee gran utilidad en los sondeos de opinión pública, con lo que podemos realizar una encuesta para intentar conocer si los individuos de una población tienen o no intención de votar en unas elecciones de tal manera que el número de individuos, de una muestra sin reemplazamiento, que tienen intención de votar sigue una distribución hipergeométrica.

En la práctica, la aproximación de una distribución hipergeométrica a una distribución binomial no requiere que la población N sea excesivamente grande. Así pues, consideramos que existe una buena aproximación cuando N>50 y n≤0’1•N, aunque otros autores consideran, para esta aproximación, valores diferentes.

En el posterior anexo 2 de nuestro libro incluimos tres ejemplos de aplicación psicológica de la distribución de probabilidad hipergeométrica (véase “tercer problema”).