EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

2. Interpretaciones gráficas

Si f(x) es la función de densidad para una variable aleatoria estadística X entonces podremos representar: y = f(x) gráficamente por una curva como la de la Fig. A-1.15. Ya que f(x)*0, la curva no puede estar nunca por debajo del eje de abscisas x. El área total limitada por la curva y el eje x ha de ser 1 debido a la conocida propiedad:

Ello constituye una proposición matemática del hecho de que una variable aleatoria de valor real debe hallarse comprendida siempre entre -* y +*. Entones, definimos la probabilidad de que X se encuentre entre a y b como:

P (a  X  b) = .

Podemos demostrar que esta definición cumple con los axiomas clásicos de las probabilidades, lo cual no haremos aquí por razones obvias de espacio y de oportunidad.

Una función f(c) que cumple los requisitos anteriores se denomina "función de probabilidad o distribución de probabilidad" para a una variable aleatoria continua, pero más frecuentemente se conoce como "función de densidad de probabilidad" o, simplemente, como "función de densidad". Cualquier función que cumpla las propiedades anteriores, automáticamente es una función de densidad.

Geométricamente, la probabilidad de que X se halle comprendida entre los valores a y b, es decir, P(a<X<b), se representa por el área sombreada de la siguiente figura. A saber:

La función de distribución: F(x) = P(X * x) es una función monotónicamente creciente que aumenta desde cero hasta 1 y se representa por una curva como la de la siguiente figura (SPIEGEL, 1981; pp. 42 y 43).

Como la integral definida representa gráficamente el área encerrada bajo la curva y = f(x) y los valores a y b del eje de abscisas, entonces a la probabilidad: P (a  X  b) = F (b) – F (a) se le puede dar la misma interpretación.

En las denominadas “distribuciones conjuntas”, las ideas anteriores se generalizan a dos o más variables aleatorias estadísticas. El caso típico más usual es el de dos variables aleatorias que son ambas discretas o bien ambas continuas. En los casos en que una variable es discreta y la otra es continua, se pueden realizar, sin excesivos problemas, las modificaciones pertinentes. También pueden hacerse generalizaciones a los casos de más de dos variables.