EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

III. FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN

1. Generalidades

En el estudio de diversas funciones aplicadas a la distribución de las variables psicológicas, se tratan profusamente los conceptos estadísticos de “función de distribución” y de “función de densidad”.

Conviene, al respecto, recordar la definición de "función de distribución F(x) para una variable aleatoria continua", como:

(1)

En los puntos de continuidad de f(x), el signo * se puede, si se desea, sustituir por el <.

La probabilidad de que la variable X se halle entre x y x+*x vendrá dada por la expresión:

de tal manera que si x es suficientemente pequeño, tendremos aproximadamente :

P(x * X * x+*x) = f(x)•*x

Por otra parte, veamos que al diferenciar ambos miembros de la expresión (1), obtendremos:

para todos los puntos donde la función f(x) es continua, es decir, que la derivada de la función de distribución es, justamente, la "función de densidad".

En cálculo, la palabra “densidad” se emplea en relación con una distribución continua de materia a lo largo de una línea o en un plano; por esta razón, su uso relacionado con una distribución discreta de probabilidad puede parecer irregular. Y así, resulta usual en algunos tratadistas denominar “función de cuantía” a la referente a las variables discretas y “función de densidad” para las variables continuas. De hecho, para obtener la última expresión, hemos hecho servir la circunstancia -ya familiar en el cálculo infinitesimal- de que:

Se trata de un caso especial de la denominada "regla de Leibnitz para la diferenciación de una integral", en el caso de que los límites de integración dependen del parámetro x. En efecto, tenemos que:

de tal manera que si a1(x) y a2(x) son funciones derivables de x, la derivada de la integral habrá de calcularse como una función compuesta, mediante la aplicación de la "regla de la cadena", o sea:

Por otra parte, tendremos que el primer sumando de esta expresión, considerando los límites de integración como fijos o constantes, será:

Además, **/*a2 (siendo a2 el límite superior de integración) es, por las mismas propiedades de la integral, el valor que toma la función subintegral para: u = a2, o sea:

**/*a2 = F(a2, x).

Por último, **/*a1 es, análogamente, igual a -F(a1, x), dado que el cambio de signo queda justificado por la inversión de los límites de integración, siempre considerando que:

, con lo que a1 pasará a ser el límite superior de integración.

De esta manera, si los límites de integración a1 y a2 son, a la vez, funciones derivables de x, y siguen verificándose las hipótesis del problema, para cada x de un cierto intervalo y para cada u del intervalo cerrado entre a1(x) y a2(x), la derivada de la integral, será:

donde a1, a2 y F se suponen funciones derivables con respecto a la variable x.