EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA 
UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

Josep Maria Franquet i Bernis

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3. Estimulación ilimitada

La figura que viene a continuación representa esquemáticamente esta situación. Llamemos:

S al número de centros perceptores del individuo o S.

 al número de estímulos en la fila de espera.

j al número de estímulos que están siendo procesados por el individuo (0  j  S).

n al número total de estímulos en el sistema, es decir, en espera y siendo procesados, esto es: n =  + j.

 al número de centros perceptores del S. desocupados.

tf al tiempo medio de espera del estímulo en la fila, antes de ser procesado, que no debe confundirse con la latencia de la respuesta (tiempo transcurrido, en segundos, entre la presentación del estímulo y el comienzo de la respuesta).

(Los valores medios correspondientes se representarán con un guión horizontal sobre la variable psicológica en cuestión).

La situación aparece clara. En tanto que j < S, es decir, mientras que todos los centros perceptores no están ocupados, no hay filas de espera y cualquier estímulo que llegue es procesado inmediatamente ( = 0). Por el contrario, si j = S, puede formarse una fila de espera y entonces   0.

La situación, gráficamente, podría esquematizarse así:

En este caso, las llegadas de estímulos son de naturaleza poissoniana y su tasa media de procesamiento es . Todos los centros receptores tienen igual tasa media de procesamiento µ que corresponde a una misma distribución exponencial.

En la figura anterior no hemos representado más que una sola fila de espera. Podemos considerar igualmente que hay varias filas, una ante cada centro perceptor del sistema psicológico (audición, vista, olfato, tacto, …); este último caso será equivalente al primero con la condición de que los estímulos no tengan ninguna prioridad ni preferencia por un centro perceptor en particular y que cualquier estímulo actúe desde la fila más corta. En el caso de tratarse de varios individuos o sistemas psicológicos el problema podría multiplicarse tantas veces como fuera preciso.

Las ecuaciones de estado que describen tal fenómeno de espera se establecen fácilmente del siguiente modo:

Estas ecuaciones no son más que un caso particular de las ecuaciones siguientes, más generales, que definen lo que se denomina un “proceso de nacimiento y de muerte” en el cual las llegadas y el proceso de percepción son poissonianos:

en donde n y n son funciones de n.

Las ecuaciones anteriores generalizan numerosos casos particulares de los fenómenos de espera, por ejemplo, el de una tasa de procesamiento proporcional al número de estímulos en el sistema (n = ; n = n•).

Situémonos ahora en el caso de “régimen permanente”, es decir, en el caso en que las probabilidades pn, de un número n de unidades en el sistema, son independientes del tiempo, con lo que:

Se pondrá  = /. La cantidad /S, denominada “intensidad de estimulación”, será tal que (/S) < 1, es decir,  < S, si no la fila se haría infinita, al ser el número medio de llegadas de estímulos superior al de salidas.

a) Probabilidad pn de que existan n unidades en el sistema.

De las ecuaciones de estado se deducen inmediatamente las fórmulas:

donde:

En el caso particular de que exista un único centro receptor (perceptor), o sea, S = 1, se tiene:

Se pueden utilizar igualmente, para el cálculo de pn, las fórmulas de retorno o recurrencia:

En cualquier caso, la determinación de la probabilidad pn de que existan n unidades de estímulos en el sistema, siendo la tasa media de llegadas  y la tasa de percepción proporcional al número de estímulos en el sistema, se realiza del siguiente modo:

Volvamos a tomar las ecuaciones generales del proceso de nacimiento y muerte:

Aquí, n =  y n = n•. En régimen permanente, se tendrá:

o sea:

como:

de donde:

pero:

luego:

y finalmente:

b) Número medio de unidades n en el sistema.

Se calculará la esperanza matemática o valor medio de n del siguiente modo:

En particular, para S = 1:

c) Número medio de estímulos v en la fila de espera.

Se calculará la esperanza matemática de la variable aleatoria v = n – S (estímulos esperando en cola), tratándose del caso de un fenómeno de espera con varios centros receptores sensoriales, o sea:

Como sucede que:

derivando la expresión anterior resulta:

y

De dónde se deduce que:

, llegando así a la fórmula buscada. En particular para S = 1, se tendrá:

d) Número medio  de centros receptores desocupados.

Para S = 1, se tiene:

Las medias de las variables n, v y  están ligadas analíticamente por la relación:

e) Probabilidad de espera.

La probabilidad de una espera de cualquier duración o probabilidad de espera, que será expresada por p(> 0) es, sencillamente, la probabilidad de que n sea superior o igual a S. O sea:

f) Tiempo medio de espera tf en la fila:

En régimen permanente, se tiene:

de dónde:

Existen unos ábacos que dan los valores de los productos •tf para diferentes valores de S y /S. Para S = 1, se tendrá: