EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

4. El concepto de “probabilidad subjetiva”

Con independencia de que en el capítulo 9 de este libro trataremos de los diferentes conceptos de probabilidad de aplicación a la Psicología, veamos que la obra del gran economista inglés John Maynard Keynes (1921) expone una teoría de la probabilidad que pertenece también a los sistemas lógicos (como la axiomática de Jeffreys), y la define estableciendo unos ciertos “grados de creencia racional” entre dos proposiciones. Sostiene que la relación usada en la deducción “p implica q” es la forma extrema de una relación que puede ser llamada “p aproximadamente implica q”, y de aquí que “si un conocimiento de h justifica una creencia racional en a de grado P, decimos que hay una relación de probabilidad de grado P entre a y h”, y se escribe del siguiente modo:

a/h = P

Para Keynes, la creencia racional se deriva del conocimiento, es decir, cuando tenemos un grado de creencia racional en a es porque conocemos alguna proposición h y también conocemos que a/h = P. Por tanto, algunas proposiciones de la forma a/h = P deben estar en nuestra premisas, pudiendo ser obtenidas o bien por conocimiento directo o bien por razonamiento de otras premisas.

Las probabilidades, según Keynes, en general, no son mensurables numéricamente; las que lo son forman una clase muy especial, y sostiene que algunas no pueden compararse entre sí. He aquí una diferencia importante con la obra de Jeffreys.

Caracteriza esta relación lógica mediante un sistema de axiomas tras una serie de definiciones preliminares. Se observa en su axiomática que si mantenemos una proposición condicionadora h, fija, entonces las relaciones de probabilidad que se obtengan, supuesto que se puede asociar un número del intervalo (0,1), se podrán sumar y multiplicar entre sí, resultando equivalente a la teoría elemental de Kolmogoroff .

Ese nuevo concepto de probabilidad surge cuando los tradicionales conceptos de “probabilidad frecuencialista” (Von Mises, 1920) , basados en la regularidad estadística, o los clásicos implícitos a la equiprobabilidad laplaciana, no resuelven satisfactoriamente los problemas que no pueden considerarse dentro del modelo del experimento. Este tipo de cuestiones pueden presentarse a menudo en el campo de la Psicología; de ahí el interés que también en nuestro caso pueden tener las teorías probabilísticas de carácter subjetivo basadas en el “grado de creencia racional” que puede tener una persona sobre la ocurrencia o no de un determinado suceso.

De hecho, las teorías subjetivistas y personalistas de la probabilidad se han desarrollado en los últimos setenta y cinco años sin que hayan obtenido un interés práctico hasta la aparición de los métodos bayesianos de estimación. La matemática moderna ha facilitado el desarrollo conjunto de las teorías frecuencialistas y de las subjetivistas con el estudio del Álgebra de Boole de los sucesos aleatorios o estocásticos, que actualmente constituye el camino más utilizado para fundamentar el concepto de probabilidad o la denominada “Estadística Matemática”.

Otra interpretación se debe a Carnap, y se conoce con el nombre de necesaria o “teoría de la confirmación”, pero la función adoptada por Carnap es sumamente complicada. El propósito de esta teoría es desarrollar métodos para codificar información “a priori” para determinar una distribución, también “a priori”, sobre los estados de la Naturaleza. La evidencia utilizable es nuestra información “a priori” y el problema fundamental es el siguiente: dada una cierta información “a priori”, ¿es una distribución “a priori” tan razonable como cualquier otra? A esto no responde la teoría subjetiva. Esta teoría ha sido desarrollada por Carnap, pero su función, como hemos mencionado, resulta harto complicada.

Desde el punto de vista subjetivo, la probabilidad mide la confianza de un individuo particular que está en la verdad de una proposición particular. Es necesario notar que las magnitudes de las probabilidades no son estimadas por el individuo, sino que están sujetas a ciertas reglas de consistencia, establecidas como axiomas que el individuo está dispuesto a aceptar.

Este punto de vista tiene sus mayores defensores en Ramsey , De Finetti , Koopman, Good, Savage y Anscombe-Aumann.

Se pueden señalar dos tendencias diferentes dentro de la escuela subjetivista. Una, orientada desde el punto de vista intuitivo, y otra, en la que la DECISIÓN juega un papel central.

Dentro de la primera tendencia destacan Koopman y Good. Para Koopman (1940), la probabilidad es directamente intuible por el individuo y es prioritaria a la experiencia objetiva. Este punto de vista está en la línea de Keynes, pero Koopman es subjetivista debido a que sostiene que la probabilidad difiere de una persona a otra en instantes diferentes. Después de presentar los axiomas de su sistema, Koopman obtiene varios teoremas sobre comparación de probabilidades. Puede considerarse que su teoría es más comparativa que cuantitativa. Entonces, para poder cuantificar la probabilidad, introduce una hipótesis adicional: “para cualquier entero n, existe al menos un conjunto de n proposiciones que son mutuamente excluyentes, tienen una unión no nula y pueden considerarse como equiparables para el individuo, dado que una de ellas sea cierta” con lo cual obtiene probabilidades numéricas y los usuales teoremas de probabilidad cuantitativa (como se obtiene de los axiomas de Kolmogoroff). En artículos posteriores sostiene que toda aplicación de las probabilidades frecuentistas o frecuencialistas en las ciencias experimentales presupone implícitamente una intuitiva concepción “a priori” de la probabilidad.

Good (1950) también se sitúa en la línea de Koopman. Así en el prefacio de su libro dice textualmente: “Cuando deseamos decidir si aceptar un particular curso de acción, nuestra decisión depende de los valores que posean para nosotros las posibles consecuencias. Una decisión racional dependerá también de nuestros grados de creencia sobre cada una de las alternativas que puedan ocurrir. La probabilidad como se comprenderá en lo que sigue, es la lógica (más que la psicológica) de los grados de creencia y de su posible MODIFICACIÓN A LA LUZ DE LA EXPERIENCIA”.

La segunda tendencia arranca en Ramsey (1950), que en su libro “Truth and Probability” realiza una crítica de los puntos de vista frecuentista y keynesiano comparándola con su propia formulación, en la que el concepto de decisión juega una importante función.

La posición sostenida por Ramsey es fundamental, pues puede decirse que la mayoría de los trabajos sobre la Teoría de la Decisión moderna emanan con ciertas modificaciones de su concepción de probabilidad.

Para Ramsey, los conceptos de probabilidad y utilidad están íntimamente ligados y algunas nociones básicas son: a) una proposición éticamente neutra p de grado de creencia p/2, y b) la noción de igualdad entre diferencias de utilidad. En palabras de Ramsey, entendemos por proposición éticamente neutra, si siendo x e y dos consecuencias cualesquiera, entonces el individuo es indiferente a elegir entre (x, p, y) y (y, p, x), en donde (a, p, b) es la opción que da a si la proposición p se obtiene y b si p no se obtiene y, por diferencia en utilidad (valor) entre  y ß, igual a la existente entre  y , si siendo p una proposición éticamente neutra de grado de creencia ½, el individuo no tiene preferencia entre las opciones (1)  si p es cierto, si p es falso y (2) ß si p es cierto,  si p es falso.

Estas ideas han servido de base para la axiomatización de la utilidad dada por Suppes y Winet (1955), y para los experimentos sobre medida de la utilidad y probabilidad subjetiva de Davidson, Suppes y Siegel (1957). Una ampliación sobre el concepto de “utilidad” puede verse en el capítulo 5 de nuestro libro.

El punto de vista de L. Savage (1954) es completamente similar al de Ramsey, pues él mismo lo afirma al decir: «Los conceptos de probabilidad y utilidad de Ramsey son esencialmente los mismos que exponemos en este libro, pero el desarrollo lógico de ellos es distinto al utilizado por él, las definiciones de probabilidad y utilidad son simultáneas y dependientes entre sí».

Savage considera tres conjuntos primitivos y una relación binaria, a saber:

a) Un conjunto E de estados de la Naturaleza e1, e2, ... Y por A, B, C, designa subconjuntos de E;

b) un espacio C de consecuencias c1 , c2 ,....;

c) un espacio de actos f, g, ... Un acto es una aplicación de E en C; y

d) una relación binaria  (es no preferido a).

Establece un conjunto de cuatro axiomas y cuatro definiciones sobre los conjuntos primitivos. Los axiomas son relativos a órdenes de preferencia en los conjuntos, teniendo en cuenta una consistencia entre ellos. Hay que notar que los cinco primeros caracterizan una probabilidad cualitativa, en palabras de Savage: «La relación  cuando se aplica a sucesos de E es una probabilidad cualitativa». El postulado seis tiene importancia pues de él deriva la existencia de una medida de probabilidad P, compatible con la relación  y la existencia de una función de utilidad V, única, salvo transformaciones lineales definidas sobre el espacio de actos.

Es esencial notar que la ley de multiplicación para sucesos independientes no es parte de la teoría de Savage; por esta razón, la teoría no tiene validez para problemas de índole secuencial, salvo que se establezca por separado.

Otro aspecto digno de observar, referente a las dos tendencias de la escuela subjetiva, es que la lógica juega una función importante, pero los puntos de vista son diferentes a los de la lógica inductiva. Podemos decir que la lógica de los subjetivistas radica en un conjunto de criterios de consistencia y razonabilidad en nuestras creencias o juicios o comportamientos. Es decir, si un individuo está de acuerdo con la teoría y se conforma con los criterios de consistencia, entonces, la teoría le ofrecerá una base RACIONAL y CONSISTENTE de tomar decisiones.

Otro representante destacado de la escuela subjetiva es Bruno de Finetti (1937), al que ya nos hemos referido con anterioridad. De Finetti presenta dos concepciones de la probabilidad, una en términos de la posición intuitiva y la otra referente a apuestas (opciones) sobre el comportamiento, que tiene un poco de las dos tendencias. De Finetti, considerado como subjetivista extremo, niega que en ningún caso el cuerpo de información pueda imponer un valor para la probabilidad, cuya situación depende de la arbitrariedad del observador (pero que está obligado, sin embargo, a respetar una serie de axiomas). A su teoría se puede poner una objeción: «En una serie de un número grande de pruebas (probabilidad frecuencialista o de Von Mises), se observa que se obtienen cuatro caras por seis cruces; entonces todos los observadores están de acuerdo en asignar como probabilidad de obtener cara el valor 0,4». A esta objeción responde Finetti diciendo que se parte de una hipótesis arbitraria, pero natural, y es la de la independencia de las tiradas.

Como se estudia en la teoría relativa a la utilidad, los axiomas de Von Newmann y O. Morgenstern llevan consigo la existencia de una función de utilidad única, salvo para un cambio de escala y de origen, pero ellos se basan en opciones (o loterías) cuyas probabilidades son conocidas por el individuo. Entonces, Aumann y Anscombe (1963) presentan una definición de probabilidad subjetiva basándose en una aplicación doble de axiomas de Von Newmann y O. Morgenstern. Este sistema axiomático lo consideraremos de la mayor importancia para conceptualizar a la utilidad como soporte de la moderna teoría de la Decisión.

Un sistema axiomático interesante por su simplicidad es el que presenta Villegas (1964 y 1967) acerca de las probabilidades subjetivas cualitativas (en el mismo sentido que Savage). Considera Villegas un espacio muestral, una sigma-álgebra de sucesos y una relación  (al menos tan verosímil que ocurra que satisface a cinco axiomas). Demuestra que existe una única distribución de probabilidad que es compatible con la relación. Para poder considerar relaciones condicionadas impone otro axioma.

En el libro editado por Kyburg y Smokler (1964) se recogen los artículos más notables publicados sobre probabilidad subjetiva. A partir de este año destacan los trabajos de Scott (1964) y los comentarios y críticas realizados por Fishburn en sus dos libros de 1964 y 1970.

Respecto a la comprobación experimental (así como su medida) de la probabilidad subjetiva destaca el trabajo de Luce y Suppes (1965) que presenta una crítica de los pocos trabajos realizados en esta área. Es también digno de notar el grupo de artículos de Ellsberg (1961), Fellner (1963), Raiffa (1961), Brewer (1963) y Roberts (1963), relativos a la controversia planteada sobre la existencia y medida de las probabilidades subjetivas. Más recientemente destacan los trabajos experimentales de Mc Crimonn (1968), referentes al contraste de la teoría de Savage.

Exponemos, a continuación, algunos comentarios acerca de los puntos de vista en la Inferencia Estadística estrechamente relacionados con los conceptos de probabilidad aquí expuestos.

Un concepto que está presente en los modos de hacer de Fisher, Pearson y Neyman (precursores de los trabajos de A. Wald) es la probabilidad fiducial. En esencia, este concepto consiste en cambiar los papeles de las proposiciones condicionadora y condicionada, atribuyendo al nuevo suceso una probabilidad proporcional a la que tenía el suceso de la partida. Esto viene a ser lo mismo que el conocido teorema de Bayes , que expondremos con amplitud en el capítulo 9, pero con la fundamental diferencia de que no hay ninguna probabilidad «a priori» en o para el segundo suceso. Este concepto de probabilidad resulta, en apariencia, poco admitido.

En muchas cuestiones, nos encontramos con que se manejan probabilidades «a priori»; estas probabilidades «a priori» sólo pueden tener un origen subjetivo o fiducial, bien entendido que a la famosa regla de la equiprobabilidad de Laplace (ver capítulo 9) puede calificársele conceptualmente como “probabilidad subjetiva”, pues tiene todo el carácter de ésta, por muy evidente que se presente la situación y muy clásico que sea el concepto.

Por otra parte, si la probabilidad «a priori» no tiene su origen en la probabilidad subjetiva, ha debido de ser inferida de una serie de experimentos; pero si lanzamos un dado 12.000 veces, y de ellas exactamente 2.000 han dado un uno por resultado, de este hecho a decir que la probabilidad de obtener uno es 1/6 media una discontinuidad insalvable sin nuevos conceptos. Precisamente, la probabilidad fiducial es el presente que nos permite pasar de una cosa a otra, pues con tanta más convicción aceptamos que es cierto que la probabilidad de obtener uno es 1/6 o muy próxima, cuanto mayor es la probabilidad del suceso que ha resultado, considerando que 1/6 es la probabilidad buscada.

La probabilidad fiducial es aceptada, de hecho, en muchas ocasiones en que teóricamente no se aceptó. Esto se hace por el simple procedimiento de cambiar la palabra «probabilidad» por «confianza», pero la cuestión es más profunda para que acepte un puro y simple arreglo de lenguaje.

Exponiendo más convicciones, nos atrevemos a decir que la necesidad de aceptar los principios que aquí se tratan y otros equivalentes, se impone con una clara evidencia como la necesidad de aceptar que nuestras percepciones sensoriales tienen algo que ver con el fondo físico que nos rodea.

Aún más, mantenemos la opinión de que la probabilidad fiducial y la subjetiva tienen una naturaleza íntimamente relacionada, pues la diferencia existente entre ambas estriba en la magnitud del campo de aplicación. No parece disparatado suponer que si se dispone de un número suficientemente elevado de datos o pruebas (cuando n → ∞), las conclusiones inferidas por un subjetivista y un frecuentista diferirán muy poco. Si los datos de partida no fueran lo bastante numerosos, las discrepancias se agrandarían. En el caso de carecer de datos o estos ser muy escasos, el subjetivista, seguramente, podría obtener algún tipo de conclusión, pero el frecuentista se abstendría racionalmente de hacerlo.

Fisher, en una ocasión, al analizar probabilidad fiducial y la que se obtiene aplicando el teorema de Bayes, dice que ambas han de tener diferencias de tipo lógico. Creo, sin embargo, que las diferencias no son otras que la información de partida, pues es totalmente aceptable que en un caso concreto no exista distribución «a priori» que diese origen a una distribución «a posteriori», coincidente con la correspondiente fiducial.

Otro problema bien distinto se plantea al considerar el campo de aplicación de los distintos conceptos aquí expuestos, pero esto es más propio de la Inferencia Estadística, de aquí que todo concepto de probabilidad lleva consigo su inferencia. Este aspecto ligado con los distintos conceptos de probabilidad puede verse en D. J. White (1970), al referirse a las tres formas de inferencia considerada por G. Tintner.

Digamos, en fin, que las teorías subjetivistas y personalistas de la probabilidad se han desarrollado en los últimos cincuenta años sin que hayan obtenido un interés práctico hasta la reciente aparición de los métodos bayesianos de estimación. La Matemática Moderna ha facilitado el desarrollo conjunto de las teorías frecuencialistas y subjetivistas con el estudio del Álgebra de Boole de los sucesos aleatorios o estocásticos, que actualmente es el camino más utilizado para fundamentar el concepto de probabilidad o la Estadística Matemática.