EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA 
UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

Josep Maria Franquet i Bernis

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3. Otras características interesantes de la distribución de las variables psicológicas

3.1. Ecuaciones de ligadura entre los coeficientes de uniformidad

Las medidas de tendencia central ofrecen una idea aproximada del comportamiento de una serie estadística. No obstante, no resultan suficientes para expresar sus características: una misma media puede provenir de valores cercanos a la misma o resultar de la confluencia de datos estadísticos enormemente dispares. Para conocer en qué grado las medidas de tendencia central son representativas de la serie, se han de complementar con medidas de dispersión como la varianza o la desviación típica.

Normalmente, la Psicología experimental también se ocupa de la dispersión de la distribución de las variables psicológicas, es decir, si los datos aparecen sobre todo alrededor de la media o si están distribuidos por todo el rango. Una medida bastante usada de la dispersión es la diferencia entre dos percentiles Pr, por lo general entre el 25 y el 75, que equivale al rango intercuartílico. El percentil r es un número tal que un r por ciento de los datos son menores o iguales que r. En particular, los percentiles 25 y 75 se denominan cuartiles inferior o primer cuartil (Q1) y superior o tercer cuartil (Q3) respectivamente. La desviación típica o “standard” es otra medida absoluta de la dispersión, pero resulta más útil su empleo que los percentiles, pues está definida en términos aritméticos.

Las medidas de centralización ayudan, en definitiva, a determinar el «centro de gravedad» de una distribución estadística. Para describir el comportamiento general de la serie se necesita, sin embargo, una información complementaria para saber si los datos están dispersos o agrupados. Así, las medidas de dispersión pueden definirse como los valores numéricos cuyo objeto es analizar el grado de separación de los valores de una serie estadística con respecto a las medidas de tendencia central consideradas.

Las medidas de dispersión, básicamente, son de dos grandes tipos:

• Medidas de dispersión absoluta: como recorrido, desviación media, varianza y desviación típica, que se usan en los análisis estadísticos generales.

• Medidas de dispersión relativa: que determinan la dispersión de la distribución estadística independientemente de las unidades en que se exprese la variable. Se trata de parámetros más técnicos y utilizados en estudios específicos, y entre ellas se encuentran los coeficientes de apertura, el recorrido relativo, el coeficiente de variación (índice de dispersión de Pearson), el índice de dispersión mediana y el coeficiente de uniformidad aquí definido.

La distribución de probabilidad normal, o campana de Gauss, es una función simétrica con respecto a la ordenada o frecuencia máxima (con la media aritmética en el centro de la serie) con un grado de dispersión bajo, dado que la mayoría de los valores de la variable psicológica en estudio estarán comprendidos dentro del entorno cuyo centro es la media aritmética y de radio la desviación típica, como puede comprobarse de la contemplación del gráfico anterior.

Evidentemente, existen en la metodología estadística otras medidas del grado de concentración y/o dispersión de las variables psicológicas que pueden emplearse eficazmente en la medida de la uniformidad psicológica (como, por ejemplo, el recorrido "semi-intercuartílico", el "coeficiente de apertura", el "recorrido relativo", etc...), debiéndose tener en cuenta que, para distribuciones moderadamente asimétricas, se pueden aplicar, con buena aproximación, las fórmulas empíricas siguientes (donde Q1 y Q3 son, respectivamente, el primer y tercer cuartil de la correspondiente distribución de frecuencias):

DM  (4/5)• ; (Q3 -Q1)/2  (2/3)•

, que no son más que consecuencias directas del hecho de que, para distribuciones normales, se tiene que la desviación media absoluta DM y el "rango semiintercuartílico" son, respectivamente, iguales a 0’7979 y 0’6745 veces la desviación típica o "standard" .

Desde esta perspectiva, y para distribuciones aproximadamente normales con suficiente número de valores de la variable psicológica en estudio (n  30), los coeficientes de uniformidad anteriormente definidos pueden representarse, geométricamente, por rectas o funciones lineales cuya variable independiente o explicativa sea el coeficiente de variación de Pearson CV. En concreto, se tendrá que:

CU4 = 100 (1 - 0,7979 • s/ )  100 • (1 -0,80•CV)

La representación gráfica resultante será la siguiente:

A su vez, las relaciones que ligan entre sí los diferentes coeficientes de uniformidad psicológica aquí definidos, pueden deducirse del siguiente modo:

CU1 = 100 (1 - CV) = 100 – 100•CV

CU2 = 100 (1 - 0,68•CV) = 100 – 68•CV

CU3 = 100 (1 - 1,27•CV) = 100 – 127•CV

CU4 = 100 (1 - 0,80•CV) = 100 – 80•CV

= 100(1 - 0,92•CV) = 100 - 92•CV

De donde:

CU1 - CU3 = 100 – 100•CV - 100 + 127•CV = 27•CV

CU3 - CU4 = 100 - 127•CV - 100 + 80•CV = -47•CV

CU1 - CU4 = .........(27•CV – 47•CV) ........ = -20•CV

Se tendría que:

CU1 / CU3 = (1- CV) / (1 - 1,27•CV) ;

CU1 - 1,27 • CV • CU1 = CU3 - CV • CU3 ;

CU1 - CU3 = 27•CV = 1,27•CV • CU1 - CV • CU3 ;

27 = 1,27•CU1 - CU3 ; CU3 + 27 = 1'27•CU1 ; con lo que:

CU1 = (CU3 + 27) / 1,27

Así mismo:

CU1 / CU4 = (1- CV) / (1 - 0,8•CV) ;

CU1 - 0,8 • CV • CU1 = CU4 - CV • CU4 ;

CU1 - CU4 = -20 CV = 0,8•CV • CU1 - CV • CU4 ;

-20 = 0,8•CU1 - CU4 ; CU4 - 20 = 0,8•CU1 ; y entonces:

CU1 = (CU4 - 20) / 0,8

Si observamos la representación gráfica adjunta A-1.20., la convergencia de ambas rectas tendrá lugar para los valores:

(CU3 + 27) / 1,27 = (CU4 - 20)/ 0,8 y CU3 = CU4

, lo que implica que, en dicho punto, tendrá lugar la máxima uniformidad psicológica posible, con:

CU1 = CU3 = CU4 = 100% = CU2 = CU

También se cumplirá que:

CU3 / CU4 = (1 - 1,27•CV) / (1 - 0,8•CV) ;

CU3 - 0,8 • CV • CU3 = CU4 - 1,27 • CV • CU4 ;

CU3 - CU4 = -47•CV = 0,8 • CV • CU3 - 1,27 • CV • CU4 ;

1,27 • CU4 - 47 = 0,8•CU3 ; y

CU3 = (1,27 • CU4 - 47) / 0,8

Las relaciones existentes entre los diferentes coeficientes de uniformidad psicológica anteriormente definidos, y que ya han sido expresadas analíticamente, pueden verse gráficamente a continuación:

El gráfico anterior puede complementarse, por su elevado interés práctico, con el siguiente, que relaciona el coeficiente de uniformidad CU3 con el CU4 del siguiente modo:

De las expresiones anteriores, se deducen inmediatamente las tres siguientes, hasta completar las seis relaciones posibles existentes entre los índices psicológicos de tal suerte definidos, esto es:

CU3 = 1,27 • CU1 - 27 ; CU4 = 0,8 • CU1 + 20 ;

CU3 = (0,8 • CU3 + 47) / 1,27

Idénticas consideraciones podríamos realizar respecto a CU2 y a CU en relación con los tres restantes coeficientes de uniformidad psicológica, y cuya materialización brindamos, como ejercicio recapitulatorio, a nuestros amables lectores.