EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

ANEXO 2. Ejemplos prácticos

I. PRIMER PROBLEMA

1. Datos y enfoque del problema

Sea un colectivo de superdotados especialmente entrenados, constituido por 1.000 individuos, de los que conocemos el correspondiente cociente intelectual, siendo precisamente esta variable psicológica la que será analizada desde el punto de vista de su uniformidad. Los valores de esta variable se hallan agrupadas en ocho "clases" de la misma amplitud, concretamente: CI = 5, constituyéndose la primera y última clases de la tabla en "intervalos abiertos", ya que no se han fijado el extremo inferior de la primera y el extremo superior de la última, que corresponderían, respectivamente, a los CI más bajo y más alto de los individuos en cuestión. Se desea averiguar los diferentes coeficientes de uniformidad psicológica, “normalizar” la distribución, obtener las medidas centrales y de dispersión así como las restantes características estadísticas de interés.

La tabla resultante del conteo y agrupación de frecuencias realizados con posterioridad a la administración del test de inteligencia correspondiente (Binet, Wechsler-Bellevue, Wais, Army-tests, …), donde cada individuo obtuvo una determinada nota o puntuación, es la siguiente:

La expresada variable psicológica se ha calculado con arreglo a la fórmula clásica: CI = (EM/EC) x 100, siendo EM la edad mental y EC la edad cronológica de los individuos componentes del colectivo analizado. De hecho, estos cálculos están ya realizados en todos los manuales de evaluación de los tests que utilizan esta unidad de medida, que ha llegado a adquirir una extraordinaria difusión.

Solución:

Cabe señalar, antes de proceder a la resolución del ejercicio propuesto, que el CI ha sido objeto de algunas críticas, principalmente dirigidas hacia el problema de su estabilidad temporal o histórica. En efecto, el CI debería ser constante en el tiempo para un mismo individuo, mientras que, de hecho, puede experimentar ciertas fluctuaciones. Se ha argüido también que, tomados dos grupos representativos de la población de edades cronológicas diferentes, los individuos situados en el mismo lugar de la curva de distribución deberían tener el mismo CI. En otros términos, que la variabilidad de los cocientes intelectuales y de las distribuciones debe ser la misma. La revisión Terman del test de Binet-Simon fue llevada a cabo en forma tal que respondiera a esta condición, aunque haya sido necesario para ello recurrir a un procedimiento estadístico harto complicado e incluso algo artificioso; pero lo cierto es que la cumple de un modo notablemente satisfactorio.

La agrupación anterior de la distribución de frecuencias constituye la etapa previa para cualquier otro proceso de análisis estadístico a que se hayan de someter unos valores numéricos que toma cualquier variable psicológica. De esta forma, se puede fácilmente comprender dónde están los promedios o valores centrales de la distribución antedicha y juzgar las características de cualquier nota en relación con las restantes.

Para interpretar correctamente dicha tabla, deben formularse las siguientes observaciones:

a) La columna de las frecuencias simples, encabezada por ni, i  (1, 2, ... , 8), recoge la frecuencia absoluta de cada uno de los ocho intervalos de clase; así, 240 es el número de individuos cuyos valores del CI están comprendidos entre 160 (inclusive) y 165. La frecuencia total toma el valor n = 1.000 individuos.

b) Las frecuencias acumuladas ascendentes las hemos designado por Ni (i=1, 2, ... , 8) y a cada una de ellas corresponde el número de individuos de CI inferior al extremo superior de la clase; así, N4 = 308, significa que se han hallado 308 individuos con un CI inferior a 165.

c) Las frecuencias relativas ordinarias y acumuladas ascendentes y descendentes encabezadas, respectivamente, por fi, Fi y Fi vienen determinadas por el cociente de dividir la correspondiente frecuencia absoluta o acumulada (ascendente o descendente) por la frecuencia total. Así, v. gr.:

La suma de las frecuencias relativas ordinarias y la última frecuencia relativa acumulada ascendente han de ser siempre iguales a la unidad, puesto que representan la probabilidad total del espacio muestral.

d) La representación gráfica de una tabla de frecuencias ordinarias (absolutas o relativas), cuando la variable es continua (como es el caso de muchas de las variables psicológicas, que pueden tomar valores intermedios entre dos consecutivos) está distribuida en clases -como las de la tabla anterior-, debe realizarse mediante un histograma de rectángulos yuxtapuestos (FIG. A-2.2.), que se construye tomando como abscisas los extremos de los intervalos y levantando sobre cada intervalo, tomado como base, un rectángulo cuya área sea directamente proporcional a la correspondiente frecuencia (absoluta o relativa). Si los intervalos son de la misma amplitud (caso de la tabla de la figura anterior, que van de 5 en 5 unidades), la altura de cada rectángulo es proporcional a la correspondiente frecuencia. En nuestra figura se ha supuesto que el extremo inferior de la variable es 145 y el superior 185, aunque, de hecho, los extremos inferior y superior, respectivamente, del campo de existencia de la misma son de 120 y 208, correspondientes a los individuos de CI mínimo y máximo de todos ellos, pero deben ser considerados como “outliers”.

e) La representación gráfica de una tabla de frecuencias acumuladas, cuando la variable continua se ha distribuido en intervalos de clase (figura A-2.3.), se obtiene mediante un polígono de frecuencias o diagrama acumulativo ascendente, que consiste en unir mediante una línea poligonal los puntos cuyas abscisas son los extremos superiores de cada intervalo de clase (150, 155, 160, etc., en nuestro ejemplo) y cuyas ordenadas son las correspondientes frecuencias acumuladas. En la figura mencionada, para un valor cualquiera de la variable psicológica en estudio x, la ordenada correspondiente representa el número (absoluto o relativo) de individuos que tienen su CI inferior a dicho valor de x.

El diagrama suele partir de un punto de ordenada cero cuya abscisa es el extremo inferior de la tabla (en nuestro ejemplo, hemos tomado para dicho extremo la abscisa x = 145>120); a partir del extremo superior de la tabla (185<208, en nuestro caso) la línea es una recta paralela al eje de abscisas, cuya altura constante es igual a la frecuencia total (n = 1.000 individuos, en el problema cuya resolución afrontamos). Así:

De la tabla anterior, que se reproduce en la figura anterior A-2.1, se deduce también el siguiente gráfico, donde se representan simultáneamente los diagramas acumulativos ascendente y descendente, cuyo punto de intersección debe ser la mediana o segundo cuartil de esta distribución de frecuencias, como se verá más adelante: